Ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác ABE cân đỉnh E có góc đáy $15^o$.Chứng minh rằng tam giác CDE đều
Giải theo 2 cách
-
Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:Cách 1:Dựng ΔIEB đều,I nằm trong ΔCEB:$\widehat{IBC}$=$90^o$ – ($\widehat{ABE}$+ $\widehat{EBI}$) = $15^o$Xét ΔEBA và ΔIBC có: EB=IB (vì ΔIEB đều)$\widehat{ABE}$=$\widehat{ICB}$(=$15^o$) ,AB=BC (vì ABCD là hình vuông)⇒ ΔIEB=ΔCEB (c.g.c)⇒ $\widehat{EAB}$=$\widehat{ICB}$ mà $\widehat{EAB}$= $15^o$(gt) nên $\widehat{ICB}$=$15^o$ΔIBC cân đỉnh I (vì $\widehat{IBC}$=$\widehat{ICB}$=$15^o$)nên $\widehat{BIC}$=$180^o$ – 2.$15^o$ =$150^o$.Do đó $\widehat{EIC}$=$360^o$ – ($\widehat{EIB}$+$\widehat{BIC}$)= $150^o$Xét ΔEIC và ΔBIC có:IE=IB$\widehat{EIC}$+$\widehat{BIC}$=$150^o$CI là cạnh chungDó đó ΔEIC=ΔBIC(c.g.c)⇒EC=BC$\widehat{ECI}$=$\widehat{ICB}$Nên $\widehat{ECB}$=$\widehat{ECI}$+$\widehat{ICB}$= $15^o$+$15^o$=$30^o$Do đó ΔCDE cân có $\widehat{DCE}$=$90^o$-$\widehat{ECB}$=$60^o$Vậy ΔCDE đềuảnh 1————————–Cách 2:Ở phía ngoài hình vuông ABCD dựng ΔABH đềuTa có $\widehat{HBE}$=$\widehat{HBA}$+$\widehat{ABE}$=$75^o$ ;$\widehat{EBC}$=$\widehat{ABC}$-$\widehat{ABE}$=$75^o$Xét ΔHBE và ΔCBE có: HB=BC(=AB)$\widehat{HBE}$=$\widehat{EBC}$(=$75^o$)BE là cạnh chungNên $\widehat{BHE}$=$\widehat{BCE}$⇒ ΔHBE=ΔCBE (c.g.c)Mặt khác EH là đường trung trực của ABNên $\widehat{BHE}$=$30^o$ do đó $\widehat{BCE}$=$30^o$, $\widehat{ECD}$=$\widehat{BCD}$-$\widehat{BCE}$= $60^o$⇒ ΔCDE đềuảnh 2
-
CÁCH 1:vẽ tam giác đều ADK(K và B cùng phía với AD)=>ˆDAKDAK^=6060=>ˆKABKAB^=9090-60=3060=30.ΔABKΔABK cân tại A=>ˆABK=75ABK^=75=>KBC=9075=159075=15tương tựΔDKCΔDKCcân tại D=>ˆDKC=180302=75DKC^=180302=75=>ˆKCB=15KCB^=15có ΔAEB=ΔBKCΔAEB=ΔBKC(g.c.g)=>AE=BK=KCΔADE=ΔKDCΔADE=ΔKDC(c.g.c)=>DE=DC(1), ˆADE=ˆKDC=30ADE^=KDC^=30=>ˆEDC=60EDC^=60 (2)(1),(2)ΔEDC đềuCÁCH 2Dựng tam giác đều DME (M trong tam giác ADE)MDA=15ΔADM=ΔCDE(c.g.c)AM=CE=DE=DMˆMAD=15ˆAMD=150ˆAME=150ΔAMD=ΔAME(c.g.c)AE=AD=ABMDA^=15ΔADM=ΔCDE(c.g.c)AM=CE=DE=DMMAD^=15AMD^=150AME^=150ΔAMD=ΔAME(c.g.c)AE=AD=ABTính được ˆBAE=60BAE^=60 tam giác ABE là tam giác đềuCÁCH 3:-Lấy E’ trong hình vuông ABCD sao cho tam giác DCE’ đều.-Ta có: DE’=DA và góc ADE’= 30 độ.=> góc DAE’= 75 độ. Và có góc DAB=90 độ.=> góc BAE’= 15 độ.-Chứng minh tương tự, ta có góc ABE’=15 độ.Suy ra điểm E trùng với E’.Vậy tam giác DEC đều
