Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x ^ 2 + 4xy + 5y ^ 2 + 6x + 14y + 2032

2 bình luận về “Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x ^ 2 + 4xy + 5y ^ 2 + 6x + 14y + 2032”

1. Lời giải:

   A = x^2 + 4xy + 5y^2 + 6x + 14y + 2032

      = (x^2 + 4xy + 4y^2) + y^2 + 6x + 14y + 2032

      = [x^2 + 2 * x * 2y + (2y)^2] + y^2 + 6x + 14y + 2032

      = (x + 2y)^2 + 6x + 12y + y^2 + 2y + 2032

      = (x + 2y)^2 + 6(x + 2y) + 9 + y^2 + 2y + 1 + 2022

      = (x + 2y)^2 + 2(x + 2y) * 3 + 3^2 + y^2 + 2 * y * 1 + 1^2 + 2022

      = (x + 2y + 3)^2 + (y + 1)^2 + 2022 $\geqslant$ 2022 AA x, y

   (Vì (x + 2y + 3)^2 $\geqslant$ 0; (y + 1)^2 $\geqslant$ 0)

   Dấu bằng xảy ra <=> $\begin{cases} x + 2y + 3 = 0 \\ y + 1 = 0 \end{cases}$

                              <=> $\begin{cases} x = -1 \\ y = -1 \end{cases}$

   Vậy GTNN của A = 2022 <=> $\begin{cases} x = -1 \\ y = -1 \end{cases}$

   Trả lời
2. A=x^2+4xy+5y^2+6x+14y+2032

   =[(x^2+4xy+4y^2)+6x+12y+4]+(y^2+2y+1)+2022

   =[(x+2y)^2+2.(x+2y).3+3^2]+(y+1)^2+2022

   =(x+2y+3)^2+(y+1)^2+2022

   Mà :

   (x+2y+3)^2ge0AA x

   (y+1)^2ge0AA y

   =>(x+2y+3)^2+(y+1)^2ge0AA x;y

   =>(x+2y+3)^2+(y+1)^2+2022ge2022AA x;y

   =>Age2022AA x;y

   Dấu “=” xảy ra khi :

   {(x+2y+3=0),(y+1=0):}

   <=>{(x=-1),(y=-1):}

   Vậy GTNN của A là 2022 khi x=-1 và y=-1

   Trả lời