Tam giác ABC cân tại A các đường p/giác BD, CE ,D thuộc AC, E thuộc AB. CMR BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ = cạnh bên

2 bình luận về “Tam giác ABC cân tại A các đường p/giác BD, CE ,D thuộc AC, E thuộc AB. CMR BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ = cạnh bên”

1. Giải đáp:

   Đề bài yêu cầu chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên trong tam giác ABC cân tại A và các đường phân giác BD, CE (D thuộc AC, E thuộc AB). Ta có thể chứng minh điều này bằng cách sử dụng định lí phân giác trong tam giác và định lí Euclid về tam giác cân.

   Gọi I là giao điểm của BD và CE. Ta có:
   – AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
   – BD là đường phân giác của tam giác ABC nên AD = DB
   – CE là đường phân giác của tam giác ABC nên AE = EC
   – Tam giác ADE và tam giác BDC đồng dạng với nhau (do có hai góc tương đương)
   – Từ đó suy ra AD/BD = AE/EC
   – Vì AD = DB nên ta có AE = EC
   – Từ đó suy ra BD = CE
   – Vậy BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

   Hy vọng điều này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán này.

    

   Trả lời
2. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

   $\text{Có: ΔABC cân tại A (gt) nên:}$

   $\text{⇒ $\begin{cases} \widehat{ABC} = \widehat{ACB} (1)\\AB = AC (2) \end{cases}$ (T/c Δ cân) }$

   $\text{Có: BD là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ (gt) nên:}$

   $\text{⇒ $\widehat{ABD}$ = $\widehat{DBC}$ = $\dfrac{\widehat{ABC}}{2}$ (3)}$

   $\text{Có: CE là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ (gt) nên:}$

   $\text{⇒ $\widehat{ACE}$ = $\widehat{ECB}$ = $\dfrac{\widehat{ACB}}{2}$ (4)}$

   $\text{Từ (1)(3)(4) ⇒ $\widehat{ABD}$ = $\widehat{DBC}$ = $\widehat{ACE}$ = $\widehat{ECB}$}$

   $\text{Xét ΔECB và ΔDBC, có:}$

             $\text{$\widehat{EBC}$ = $\widehat{DCB}$ ($\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ – cmt)}$

             $\text{Cạnh BC chung}$

             $\text{$\widehat{ECB}$ = $\widehat{DBC}$ (cmt)}$

   $\text{⇒ ΔECB = ΔDBC (g.c.g)}$

   $\text{⇒ BE = DC (5) (Cặp cạnh tương ứng) }$

   $\text{Có: BE + EA = BA (T/c cộng đoạn thẳng) (6)}$

           $\text{CD + DA = CA (T/c cộng đoạn thẳng) (7)}$

   $\text{Từ (5)(6)(7) ⇒ AE = AD}$

   $\text{Xét ΔAED, có: AE = AD (cmt)}$

   $\text{⇒ ΔAED cân tại A (dhnb)}$

   $\text{⇒ $\widehat{AED}$ = $\widehat{ADE}$ = $\dfrac{180^o – \widehat{EAD}}{2}$ (8)}$

   $\text{Có: ΔABC cân tại A (gt) nên:}$

   $\text{⇒ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ = $\dfrac{180^o – \widehat{BAC}}{2}$ (9)}$

   $\text{Từ (8)(9) ⇒ $\widehat{AED}$ = $\widehat{ADE}$ = $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$}$

   $\text{Có: $\widehat{AED}$ = $\widehat{ABC}$ (cmt)}$

   $\text{Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị}$

   $\text{⇒ ED//BC (dhnb)}$

   $\text{Xét tứ giác BEDC, có: ED//BC (cmt)}$

   $\text{⇒ Tứ giác BEDC là hình thang (dhnb)}$

   $\text{Xét hình thang BEDC (cmt) có: $\widehat{EBC}$ = $\widehat{DCB}$ (cmt)}$

   $\text{⇒ Hình thang BEDC là hình thang cân (dhnb)}$

   $\text{Có: ED//BC (cmt) nên:}$

   $\text{⇒  $\widehat{DEC}$ = $\widehat{ECB}$ }$

   $\text{Mà $\widehat{ECB}$ = $\widehat{ECD}$ (cmt)}$

   $\text{⇒ $\widehat{DEC}$ = $\widehat{DCE}$ }$

   $\text{Xét ΔDEC, có: $\widehat{DEC}$ = $\widehat{DCE}$ (cmt)}$

   $\text{⇒ ΔDEC cân tại D (dhnb)}$

   $\text{⇒ DE = DC (T/c Δ cân) (10)}$

   $\text{Từ (5)(10) ⇒ BE = DE = CD}$

   #Pô

   Trả lời