Tìm GTNN của các biểu thức : `A=4x^2-4xy+5y^2+20x-2y+2044` `B=4x^2+5y^2-4xy+20x-6y+2047` `C=x^2+5y^2+2x-4xy-10y+14`

2 bình luận về “Tìm GTNN của các biểu thức : `A=4x^2-4xy+5y^2+20x-2y+2044` `B=4x^2+5y^2-4xy+20x-6y+2047` `C=x^2+5y^2+2x-4xy-10y+14`”

1. Giải đáp : a) Giá trị nhỏ nhất của A là 2015 <=> $\begin{cases} x = -3\\y = -1 \end{cases}$

   b) Giá trị nhỏ nhất của B là 2021 <=> $\begin{cases} x =\dfrac{-11}{4}\\y=\dfrac{-1}{2} \end{cases}$

   c) Giá trị nhỏ nhất của C là 5 <=>$\begin{cases} x=5\\y=3 \end{cases}$

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   @ Dạng bài : Đa thức bậc hai hai biến

   a) A = 4x^2 – 4xy + 5y^2 + 20x – 2y + 2044

   = 4x^2 – ( 4xy – 20x ) + 5y^2 – 2y + 2044

   = ( 2x )^2 – 2 . 2x . ( y – 5 ) + ( y – 5 )^2 – ( y – 5 )^2 + 5y^2 – 2y + 2044

   = ( 2x – y + 5 )^2 – y^2 + 10y – 25 + 5y^2 – 2y + 2044

   = ( 2x – y + 5 )^2 + 4y^2 + 8y + 2019

   = ( 2x – y + 5 )^2 + ( 2y )^2 + 2 . 2y . 2 + 2^2 – 2^2 + 2019

   = ( 2x – y + 5 )^2 + ( 2y + 2 )^2 + 2015

   Vì ( 2x – y + 5 )^2 >= 0 AA x,y 

   Mà ( 2y + 2 )^2 >= 0 AA y

   => ( 2x – y + 5 )^2 + ( 2y + 2 )^2 + 2015 >= 2015

   Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2015 <=> $\begin{cases} 2x – y + 5 = 0\\2y + 2 = 0 \end{cases}$

   <=> $\begin{cases} 2x – ( – 1 ) + 5 = 0\\y= -1 \end{cases}$ <=> $\begin{cases} x = -3\\y = -1 \end{cases}$

   b) B = 4x^2 + 5y^2 – 4xy + 20x – 6y + 2047

   = 4x^2 – ( 4xy – 20x ) + 5y^2 – 6y + 2047

   = ( 2x )^2 – 2 . 2x . ( y – 5 ) + ( y – 5 )^2 – ( y – 5 )^2 + 5y^2 – 6y + 2047

   = ( 2x – y + 5 )^2 – y^2 + 10y – 25 + 5y^2 – 6y + 2047

   = ( 2x – y + 5 )^2 + 4y^2 + 4y + 2022

   = ( 2x – y + 5 )^2 + ( 2y + 1 )^2 + 2021

   Vì ( 2x – y + 5 )^2 >= 0 AA x,y

   Mà ( 2y + 1 )^2 >= 0 AA y

   => ( 2x – y + 5 )^2 + ( 2y + 1 )^2 + 2021 >= 2021

   Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2021 <=> $\begin{cases} 2x – y + 5\\2y + 1 = 0 \end{cases}$

   <=> $\begin{cases} 2x – ( \dfrac{-1}{2} ) + 5 = 0\\y=\dfrac{-1}{2} \end{cases}$ <=> $\begin{cases} x =\dfrac{-11}{4}\\y=\dfrac{-1}{2} \end{cases}$

   c) C = x^2 + 5y^2 + 2x – 4xy – 10y + 14

   = x^2 – ( 4xy – 2x ) + 5y^2 – 10y + 14

   = x^2 – 2 . x . (  2y – 1 ) + ( 2y – 1 )^2 – ( 2y – 1 )^2 + 5y^2 – 10y + 14

   = ( x – 2y + 1 )^2 – 4y^2 + 4y – 1 + 5y^2 – 10y + 14

   = ( x – 2y + 1 )^2 + y^2 – 6y + 14

   = ( x – 2y + 1 )^2 + ( y^2 – 2 . y . 3 + 3^2 – 3^2 + 14 )

   = ( x – 2y + 1 )^2 + ( y – 3 )^2 + 5

   Vì ( x – 2y + 1 )^2 >=  0 AA x,y

   Mà ( y – 3 )^2 >= 0 AA y

   => ( x – 2y + 1 )^2 + ( y – 3 )^2 + 5 >= 5

   Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 5 <=> $\begin{cases} x – 2y + 1 =0\\y – 3 = 0 \end{cases}$

   <=> $\begin{cases} x – 2 . 3 + 1 = 0\\y=3 \end{cases}$ <=> $\begin{cases} x=5\\y=3 \end{cases}$

   Trả lời
2. A=4x^2-4xy+5y^2+20x-2y+2044

   =(4x^2-4xy+y^2)+10(2x-y)+25+(4y^2+8y+4)+2015

   =(2x-y)^2+2.(2x-y).5+5^2+(2y+2)^2+2015

   =(2x-y+5)^2+(2y+2)^2+2015≥2015∀x;y

   Dấu “=” xảy ra khi: $\begin{cases}2x-y+5=0\\2y+2=0\\\end{cases}$

   => $\begin{cases}x=\dfrac{y-5}{2}\\y=-1\\\end{cases}$

   => $\begin{cases}x=-3\\y=-1\\\end{cases}$

    $⇒MIN_A=2015$ tại x=-3;y=-1

   B=4x^2+5y^2-4xy+20x-6y+2047

   =(4x^2-4xy+y^2)+10(2x-y)+25+(4y^2+4y+1)+2021

   =(2x-y)^2+2.(2x-y).5+5^2+(2y+1)^2+2021

   =(2x-y+5)^2+(2y+1)^2+2021≥2021∀x;y

   C=x^2+5y^2+2x-4xy-10y+14

   =(x^2-4xy+4y^2)+2(x-2y)+1+(y^2-6y+9)+4

   =(x-2y)^2+2.(x-2y).1+1^2+(y-3)^2+4

   =(x-2y+1)^2+(y-3)^2+4≥4∀x;y

   Trả lời