Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x ² + 8y ² + 4xy – 2 – 4y = 4

<=>(x + 2y)² + 4y² – 4y – 6 = 0

<=>(x + 2y)² = – 4y² + 4y + 6

<=>(x + 2y)² = 4(y² – y) + 6

<=>(x + 2y)² = 4y(y – 1) + 6

<=>(x + 2y)² – 4y(y – 1) = 6

<=> x² + 4xy + 4y² = (x + 2y)²

Vì x và y là số nguyên, ta cần tìm các giá trị của (x + 2y)² sao cho 6 + 4y cũng là bình phương của một số nguyên.

Khi đó, ta có:

(x + 2y)² – (2y – 1)² = 6 + 4y – (2y – 1)²

<=>(x + 2y + 2y – 1)(x + 2y – 2y + 1) = 6 + 4y – (2y – 1)²

<=>(x + 4y – 1)(x + 2) = 5

Vì x và y là số nguyên, ta có:

(x + 4y – 1)(x + 2) là một số nguyên.

Vì hai thừa số phải là hai số nguyên dương nhỏ hơn 5 và có tích bằng 5. Ta có  các trường hợp sau:

+,(x + 4y – 1) = 1 và (x + 2) = 5

<=> x = 3 và y = 1.

+,(x + 4y – 1) = 5 và (x + 2) = 1, không có giá trị nào của x và y thỏa mãn.

+,(x + 4y – 1) = -1 và (x + 2) = -5, không có giá trị nào của x và y thỏa mãn.

+,(x + 4y – 1) = -5 và (x + 2) = -1, không có giá trị nào của x và y thỏa mãn.

Vậy, giá trị của x và y là (x, y) = (3, 1).