Câu 3 (3,0 điểm). Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x²+y²=(x-y)(xy+2)+7.

1 bình luận về “Câu 3 (3,0 điểm). Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x²+y²=(x-y)(xy+2)+7.”

1. Giải đáp:

    Chúng ta có thể bắt đầu bằng cách sử dụng đại số học và chuyển phương trình về dạng:

   x² + y² = xy – 2y + 7

   Sau đó, ta có thể giải quyết bằng phương pháp trực tiếp.

   Ta biết rằng nếu (x, y) là một nghiệm nguyên của phương trình trên thì x và y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ

   (giải thích: khi cộng lẻ với chẵn sẽ cho ra số lẻ, khi nhân lẻ với chẵn sẽ cho ra số chẵn).

   Giả sử x và y đều là số chẵn, chúng ta có thể viết

   x = 2m và y = 2n, với m và n là các số nguyên.

   Thay vào phương trình, ta có: (2m)² + (2n)² = 2mn + 4n + 7 4m² + 4n² = 2mn + 4n + 7 2m² + 2n² = mn + 2n + 3.5

   Bây giờ, ta biết rằng 2m² + 2n² phải là một số chẵn và mn + 2n + 3.5 phải là một số lẻ, nhưng điều này là không thể xảy ra.

   Do đó, giả sử x và y đều là số lẻ.

   Chúng ta có thể viết x = 2m + 1 và y = 2n + 1, với m và n là các số nguyên.

   Thay vào phương trình, ta có:

   (2m + 1)² + (2n + 1)² = (2m + 1 – 2n – 1)(2m + 1)(2n + 1) + 7

   4m² + 4m + 4n² + 4n + 2 = – 4n^2 – 4n + 2m^2 + 2m + 2mn + 2n + 2m + 2n + 8 + 7

   4m² + 4m + 4n² + 4n + 2 = 2m^2 + 2n^2 + 2mn + 8

   2m² + 2n² = mn + 2n + 3.

   Lại một lần nữa, ta biết rằng 2m² + 2n² phải là một số chẵn và mn + 2n + 3 phải là một số lẻ, do đó ta giải phương trình này trong trường hợp này.

   Đặt t = n + 1, ta được:

   2m² + 2t² – 2t – 1 = 0

   m² + t² – t – 1/2 = 0.

   Chúng ta có thể giải phương trình này sử dụng Công thức nghiệm của phương trình bậc hai như sau: t = [1 ± √(1 + 8m²)]/2.

   Do t là một số nguyên, ta có thể suy ra rằng 1 + 8m² phải là một số chính phương, nghĩa là m = 0. Suy ra t = 1 hoặc t = -1.

   Sau đó, chúng ta tính lại x và y, ta được hai nghiệm nguyên của phương trình ban đầu: (x, y) = (-1, -1) hoặc (x, y) = (3, 5).

   Vậy nghiệm của phương trình là (x, y) = (-1, -1) hoặc (x, y) = (3, 5).

    

   Trả lời