cho x>0 tìm Min M = 4x^2 – 3x + 1/4x + 2011

2 bình luận về “cho x>0 tìm Min M = 4x^2 – 3x + 1/4x + 2011”

1. M = 4x^2 – 3x + ${\displaystyle \frac{1}{4x}}$ + 2011 (x > 0)

   = 4x^2 – 4x + 1 + x + ${\displaystyle \frac{1}{4x}}$ + 2010

   = (2x – 1)^2 + (x + ${\displaystyle \frac{1}{4x}}$) + 2010

   Ta có: (2x – 1)^2 $\ge$ 0  ∀ x

   x + ${\displaystyle \frac{1}{4x}}$ $\ge$ 2$\sqrt{x.{\displaystyle \frac{1}{4x}}}$ (BĐT Cô-Si)

   ⇒ M $\ge$ 0 + 2$\sqrt{x.{\displaystyle \frac{1}{4x}}}$ + 2010 = 2011

   Dấu “=” xảy ra ⇔ x = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 

   Vậy min M = 2021 khi x = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 

   Trả lời
2. M = 4x^2 – 3x + 1/(4x) + 2011     (x>0)

   M = (4x^2 – 4x + 1) + x + 1/(4x) + 2010

   M = (2x-1)^2 + x + 1/(4x) + 2010

   Ta có x > 0 nên 1/(4x) > 0

   Áp dụng BĐT Cô – si cho 2 số dương, ta có:

   x + 1/(4x) >= 2\sqrt[x . 1/(4x)] = 2\sqrt[1/4] = 2. 1/2 = 1 (1)

   Ta có (2x-1)^2 >= 0 với mọi x (2)

   => M >= 0 + 1 + 2010

   M >= 2011

   Dấu “=” xảy ra:

   <=> {(x = 1/(4x)),(2x-1=0):}

   <=> {(x^2=1/4),(2x=1):}

   <=> {(x=1/2),(x=-1/2),(x=1/2):}

   <=> x=1/2 (do x>0)

   Vậy M_min = 2011 khi x=1/2

   Trả lời