Cho `a,b,c >0.` CMR
`a/[b+2c]+b/[c+2a]+c/[a+2b] >=1`
Dễ hiểu giúp.
-
Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:Ta có : (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0 luôn đúng<=>a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2>=0<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc>=0<=>a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc>=0<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc>=3ab+3bc+3ac<=>(a+b+c)^2>=3ab+3bc+3ac (*)Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta luôn có :x+y+z>=3root3(xyz) (1)1/x+1/y+1/z>=3root3(1/(xyz)) (2)Từ (1) và (2) nhân vế với vế ta được :(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9<=>1/x+1/y+1/z>=9/(x+y+z) (3)Đặt D=a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)=a^2/(ab+2bc)+b^2/(bc+2ab)+c^2/(ac+2bc)Áp dụng bất đẳng thức (3) ta được :D>=(a+b+c)^2/(ab+2bc+bc+2ab+ac+2bc)=(a+b+c)^2/(3ab+3bc+3ac)>=(3ab+3bc+3ac)/(3ab+3bc+3ac) (Áp dụng (*))=1hay D>=1 (điều phải chứng minh)Dấu “=” xảy ra <=>a=b=c>0Vậy ta được điều phải chứng minh, dấu “=” xảy ra <=>a=b=c>0-ngocthu
-
Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ, ta có :a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)=(a^2)/(ab+2ac)+(b^2)/(bc+2ab)+(c^2)/(ac+2bc)>=((a+b+c)^2)/(ab+2ac+bc+2ab+ac+2bc)=((a+b+c)^2)/(3(ab+bc+ca)) >=(3(ab+bc+ca))/(3(ab+bc+ca))=1 ( Bất đẳng thức quen thuộc )Dấu “=” xảy ra <=>a=b=c>0