Trang chủ » Hỏi đáp » Môn Toán Cho `a,b,c>0` và `a+b+cle1` tìm min `a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c` 11/09/2024 Cho `a,b,c>0` và `a+b+cle1` tìm min `a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c`
Giải đáp: min_A=28/3<=>a=b=c=1/3. Lời giải và giải thích chi tiết: Đặt A=a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c Áp dụng BĐT cosi cho 2 số dương ta có: a^2+1/9>=2/3a b^2+1/9>=2/3b c^2+1/9>=2/3c Cộng từng vế các BĐT trên ta có: a^2+b^2+c^2+1/3>=2/3a+2/3b+2/3c <=>a^2+b^2+c^2>=2/3a+2/3b+2/3c-1/3 <=>A>=2/3a+2/3b+2/3c+1/a+1/b+1/c-1/3 <=>A>=2/3a+2/(27a)+2/3b+2/(27b)+2/3c+2/(27c)+25/27(1/a+1/b+1/c)-1/3 Tiếp tục dùng BĐT cosi ta có: A>=4/9+4/9+4/9+25/27(1/a+1/b+1/c)-1/3 <=>A>=1+25/27(1/a+1/b+1/c) Mặt khác với BĐT phụ 1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c) <=>A>=1+225/(27(a+b+c)) <=>A>=1+225/27=28/3 Dấu “=” xảy ra khi {(a=b=c),(a+b+c=1):}<=>a=b=c=1/3 Vậy min_A=28/3<=>a=b=c=1/3. Trả lời
Đặt N=a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c Áp dụng BĐT SVAC-XƠ ta có: a^2+b^2+c^2 =(a^2)/1+(b^2)/1+(c^2)/1 >=((a+b+c)^2)/(1+1+1) =(1^2)/3 =1/3 1/a+1/b+1/c>=((1+1+1)^2)/(a+b+c) =(3^2)/1 =9 =>a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c>=1/3+9=28/3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1/3 Vậy min N=28/3<=>a=b=c=1/3 Trả lời
2 bình luận về “Cho `a,b,c>0` và `a+b+cle1` tìm min `a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c`”