Cho `a,b,c>0` và `a+b+cle1` tìm min `a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c`

Cho `a,b,c>0` và `a+b+cle1` tìm min `a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c`

2 bình luận về “Cho `a,b,c>0` và `a+b+cle1` tìm min `a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c`”

  1. Giải đáp:
    min_A=28/3<=>a=b=c=1/3.
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    Đặt A=a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c
    Áp dụng BĐT cosi cho 2 số dương ta có:
    a^2+1/9>=2/3a
    b^2+1/9>=2/3b
    c^2+1/9>=2/3c
    Cộng từng vế các BĐT trên ta có:
    a^2+b^2+c^2+1/3>=2/3a+2/3b+2/3c
    <=>a^2+b^2+c^2>=2/3a+2/3b+2/3c-1/3
    <=>A>=2/3a+2/3b+2/3c+1/a+1/b+1/c-1/3
    <=>A>=2/3a+2/(27a)+2/3b+2/(27b)+2/3c+2/(27c)+25/27(1/a+1/b+1/c)-1/3
    Tiếp tục dùng BĐT cosi ta có:
    A>=4/9+4/9+4/9+25/27(1/a+1/b+1/c)-1/3
    <=>A>=1+25/27(1/a+1/b+1/c)
    Mặt khác với BĐT phụ 1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)
    <=>A>=1+225/(27(a+b+c))
    <=>A>=1+225/27=28/3
    Dấu “=” xảy ra khi {(a=b=c),(a+b+c=1):}<=>a=b=c=1/3
    Vậy min_A=28/3<=>a=b=c=1/3.

    Trả lời
  2. Đặt N=a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c
    Áp dụng BĐT SVAC-XƠ ta có:
    a^2+b^2+c^2
    =(a^2)/1+(b^2)/1+(c^2)/1
    >=((a+b+c)^2)/(1+1+1)
    =(1^2)/3
    =1/3
    1/a+1/b+1/c>=((1+1+1)^2)/(a+b+c)
    =(3^2)/1
    =9
    =>a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c>=1/3+9=28/3
    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
    a=b=c=1/3
    Vậy min N=28/3<=>a=b=c=1/3

    Trả lời

Viết một bình luận

Câu hỏi mới