cho `a,b,c>=1`.cmr: `sum_(text(cyc)) 1/(1+a^3)>=3/(1+abc)` (dùng các bđt quen thuộc)

2 bình luận về “cho `a,b,c>=1`.cmr: `sum_(text(cyc)) 1/(1+a^3)>=3/(1+abc)` (dùng các bđt quen thuộc)”

1. BĐT quen thuộc: 1/(1+x)+1/(1+y) >= 2/(1+\sqrt{xy}) 

   Vào bài ta có:

   1/(1+a^3)+1/(1+b^3)+1/(1+c^3)+1/(1+abc)

   >= 2/(1+\sqrt{a^3b^3})+2/(1+\sqrt{abc^3})

   >= 4/(1+\sqrt{a^3b^3}.\sqrt{abc^3})

   =4/(1+abc

   →\sum_{cyc} 1/(1+a^3)>=3/(1+abc)

   Dấu “=” xảy ra khi: a=b=c >=1

   Trả lời
2. Giải đáp:

    

   Lời giải và giải thích chi tiết:

    \sum_{cyc}1/(1+a^3)>=3/(1+abc)(a,b,c>=1)

   <=>1/(a^3+1)+1/(b^3+1)+1/(c^3+1)>=3/(1+abc)

   Áp dụng BĐT 1/(a+1)+1/(b+1)>=2/(\sqrt{ab}+1)(AAx,y>=1)(Đã chứng minh ở câu trước)

   =>1/(a^3+1)+1/(b^3+1)>=2/(1+\sqrt{(ab)^3})

    1/(c^3+1)+1/(abc+1)>=2/(1+\sqrt{abc^4})

   Và 2/(1+\sqrt{(ab)^3})+2/(1+\sqrt{abc^4})>=4/(1+\sqrt{\sqrt{a^3b^3*abc^4}}

   <=>2/(1+\sqrt{(ab)^3})+2/(1+\sqrt{abc^4})>=4/(1+abc)

   <=>1/(a^3+1)+1/(b^3+1)+1/(b^3+1)+1/(abc+1)>=4/(1+abc)

   <=>1/(a^3+1)+1/(b^3+1)+1/(b^3+1)>=3/(abc+1)

   =>dpcm

   Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

   Trả lời