Cho `a,b,c,k` là các số tự nhiên thỏa mãn `a^3+b^3+c^3=a+b+c+k^2-2k+1` Chứng minh `k-1 vdots 3`

2 bình luận về “Cho `a,b,c,k` là các số tự nhiên thỏa mãn `a^3+b^3+c^3=a+b+c+k^2-2k+1` Chứng minh `k-1 vdots 3`”

1. $$

   $a^3-a=a(a-1)(a+1)$

   $a,a-1,a+1$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 trong 3 số $⋮3$

   $\to a(a-1)(a+1)⋮3\to (a^3-a)⋮3$

   Tương tự; $(b^3-b)⋮3,(c^3-c)⋮3$

   $\to (k-1{)}^2⋮3\to (k-1)⋮3$(Do $3$ nguyên tố.)

   Trả lời
2. <=>(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c)=k^2-2k+1

   Mặt \ne: ta có x(x-1)(x+1)\vdots3(x\inZZ)

   <=>x^3-x\vdots3

   Áp dụng ->VT\vdots3

   ->k^2-2k+1\vdots3

   <=>(k-1)^2\vdots3 mà 3 nguyên tố

   ->k-1\vdots3

   Trả lời