Cho `a,b,c` là các số dương. Chứng minh rằng : `(a^5)/(bc) + (b^5)/(ca) + (c^5)/(ab)` lớn hơn hoặc bằng `a^3+b^3+c^3`

2 bình luận về “Cho `a,b,c` là các số dương. Chứng minh rằng : `(a^5)/(bc) + (b^5)/(ca) + (c^5)/(ab)` lớn hơn hoặc bằng `a^3+b^3+c^3`”

1. AM-GM:
   $\dfrac{a^5}{bc}+abc \ge 2a^3$
   $\dfrac{b^5}{ac}+abc \ge 2b^3$
   $\dfrac{c^5}{ab}+abc \ge 2c^3$

   $=>$ $\dfrac{a^5}{bc}+\dfrac{b^5}{ac}+\dfrac{c^5}{ab} \ge 2a^3+2b^3+2c^3-3abc$
   AM-GM: $a^3+b^3+c^3 \ge 3 \sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc$
   $=>$ $\dfrac{a^5}{bc}+\dfrac{b^5}{ac}+\dfrac{c^5}{ab} \ge 2a^3+2b^3+2c^3-(a^3+b^3+c^3)=a^3+b^3+c^3$
   $=>$ đpcm
   Dấu $”=”:a=b=c$

    

   Trả lời
2. Ta có (a^5)/(bc)+(b^5)/(ca)+(c^5)/(ab)

        =(a^6)/(abc)+(b^6)/(abc)+(c^6)/(abc)

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schwarz ta có

   (a^6)/(abc)+(b^6)/(abc)+(c^6)/(abc)ge(a^3+b^3+c^3)^2/(3abc)

   Ta phải chứng minh (a^3+b^3+c^3)^2/(3abc)gea^3+b^3+c^3

                            ⇔(a^3+b^3+c^3)/(3abc)ge1

                            ⇔a^3+b^3+c^3ge3abc(Luôn đúng)

   Dấu = xảy ra khi a=b=c

    

   Trả lời