Cho `a,b,c` là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR pt: `b^2x^2 – (b^2 +c^2 -a^2)x +c^2 = 0` vô nghiệm

Question

Cho `a,b,c` là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR pt: `b^2x^2 - (b^2 +c^2 -a^2)x +c^2 = 0` vô nghiệm

ngochuong2k2 · Answer

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên a,b,c > 0

b^2 x^2 – (b^2 + c^2 – a^2)x + c^2 = 0 ( :vvv )

Để ( :vvv ) vô nghiệm thì \Delta_(\text( :vvv)) < 0

<=> [ -(b^2 + c^2 – a^2)]^2 – 4b^2 c^2 < 0

<=> (b^2 + c^2 – a^2)^2 – ( 2bc)^2 < 0

<=> ( b^2 + c^2 – a^2 – 2bc)(b^2 + c^2 – a^2 + 2bc) < 0

<=> [(b-c)^2 – a^2)][(b+c)^2 – a^2] < 0

<=> (b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a) < 0 ( ** )

Theo bđt tam giác ta có :
$\bullet$ b – c< a

-> b – c – a < 0 ( 1 )

$\bullet$ a +b – c > c – c = 0 ( 2 )

$\bullet$ b+c -a > a – a = 0 ( 3 )

$\bullet$ b + c + a > 0 ( 4 )

Nhân (1) , ( 2) ,( 3) ,(4) lại thì hiển nhiên (**) đúng ( trái dấu )

-> đpcm