Cho a,b,c là số dương . CM : `(a^2)/(b+c) + (b^2)/(c+a)+(c^2)/(a+b)` bé hơn bằng `(a+b+c)/2`

2 bình luận về “Cho a,b,c là số dương . CM : `(a^2)/(b+c) + (b^2)/(c+a)+(c^2)/(a+b)` bé hơn bằng `(a+b+c)/2`”

1. Giải đáp:

   (a^2)/(b + c) + (b^2)/(a + c) + (c^2)/(a + b) \ge (a + b + c)/2

   Lời giải và giải thích chi tiết:

    Áp dụng bđt Cô – si cho a,b,c > 0

   (a^2)/(b + c) + (b + c)/4 \ge 2 . sqrt{ (a^2)/(b+ c) . (b + c)/4} = 2 . sqrt{(a^2)/4} = 2 . a/2 = a

   (b^2)/(a + c) + (a + c)/4 \ge 2 . sqrt{ (b^2)/(a + c) . (a + c)/4} = b

   (c^2)/(a + b) + (a + b)/4 \ge 2 . sqrt{ (c^2)/(a + b) . (a + b)/4} = c

   => (a^2)/(b + c) + (b^2)/(a + c) + (c^2)/(a + b) + (a + c + a + b + b + c)/4 \ge a + b + c

   => (a^2)/(b + c) + (b^2)/(a + c) + (c^2)/(a + b) + (a + b + c)/2 \ge a + b + c

   => (a^2)/(b + c) + (b^2)/(a + c) + (c^2)/(a + b) \ge (a + b + c)/2 (đpcm)

   Dấu “=” xảy ra khi : <=> a = b = c

   Trả lời
2. C_1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz : ( Cách chứng minh BĐT này khá đơn giản , bạn có thể tham khảo trên mạng )

   a^2 /(b+c) + b^2 / (c+a) + c^2 / ( a+b) >= [ ( a +b +c)^2]/[ b + c + c + a + a + b] = [(a+b+c)^2]/[2(a+b+c)] = (a+b+c)/2 ( đpcm )

   Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

   C_2 : Dự đoán dấu “=” xảy ra khi a=b=c . Thường thì những bài này sẽ chứng minh qua bất đẳng thức Cauchy :

   $\bullet$ a^2 / (b+c) vì cái mẫu khá vướng nên mình nghĩ đến việc khử nó bằng Cauchy , khi đó sẽ có cái sau : a^2 / ( b +c ) + (b+c)/k >= 2\sqrt( (a^2 . (b+c))/(k.(b+c))) = 2a \sqrt(1/k)mà để sài Cauchy  thì 2 số đó phải bằng nhau, nghĩa là a^2 / ( b +c ) = (b+c)/k . Giải phương trình này để tìm k :
   a^2 / ( b +c ) = (b+c)/k

   => a^2 /(2a) = (2a)/k ( Do ở đây mình dự đoán là a=b=c nên thay vào b+c = 2a )

   <=> a^2 k = 4a^2

   <=> k = 4

   -> a^2 / ( b +c ) = (b+c)/4

   Vậy số cần tìm là để 2 cái trên bằng nhau là 4

   Tương tự với mấy cái còn lại bạn cũng sẽ tìm ra được k =4

   Ý tưởng là vậy, giờ mình sẽ trình bày

   a^2 / ( b + c ) + b^2 / (c+a) + c^2 / (a+b)

   Áp dụng BĐT Cauchy : 

   a^2 /( b+c) + (b+c)/4 >= 2\sqrt( (a^2 . (b+c))/(4.(b+c))) = a

   TT : b^2 /( c+a) + (c+a)/4 >= b và c^2 /( a+b) + (a+b)/4 >= c

   -> \sum a^2 / (b+c) +  ( b + c + c + a + a  + b )/4 >= 2(a+b+c)

   -> \sum a^2 / (b+c) + [ 2(a+b+c)]/4 >= a+b+c

   -> \sum a^2 / (b+c) + (a+b+c)/2 >= a+b+c

   -> \sum a^2 / (b+c)   >= (a+b+c)/2

   Dấu “=” xảy ra khi a = b =c

   _________________________________________________________

   P/s :  \sum a^2 / ( b + c ) = VT của đề bài ( Mình ghi kí hiệu vì lười ghi lại đề :v , Ghi vào tập bạn có thể trình bày rõ ra ), cái dự đoán được gọi là điểm rơi trong bất đẳng thức nghĩa là với giá trị nào của các biến thì bất đẳng thức xảy ra ( dấu “=” xảy ra )

   Trả lời