Cho a,b,c là số dương . CM : `(a^2)/(b+c) + (b^2)/(c+a)+(c^2)/(a+b)` bé hơn bằng `(a+b+c)/2`

2 bình luận về “Cho a,b,c là số dương . CM : `(a^2)/(b+c) + (b^2)/(c+a)+(c^2)/(a+b)` bé hơn bằng `(a+b+c)/2`”

1. Giải đáp:

   (a^2)/(b + c) + (b^2)/(a + c) + (c^2)/(a + b) \ge (a + b + c)/2

   Lời giải và giải thích chi tiết:

    Áp dụng bđt Cô – si cho a,b,c > 0

   (a^2)/(b + c) + (b + c)/4 \ge 2 . sqrt{ (a^2)/(b+ c) . (b + c)/4} = 2 . sqrt{(a^2)/4} = 2 . a/2 = a

   (b^2)/(a + c) + (a + c)/4 \ge 2 . sqrt{ (b^2)/(a + c) . (a + c)/4} = b

   (c^2)/(a + b) + (a + b)/4 \ge 2 . sqrt{ (c^2)/(a + b) . (a + b)/4} = c

   => (a^2)/(b + c) + (b^2)/(a + c) + (c^2)/(a + b) + (a + c + a + b + b + c)/4 \ge a + b + c

   => (a^2)/(b + c) + (b^2)/(a + c) + (c^2)/(a + b) + (a + b + c)/2 \ge a + b + c

   => (a^2)/(b + c) + (b^2)/(a + c) + (c^2)/(a + b) \ge (a + b + c)/2 (đpcm)

   Dấu “=” xảy ra khi : <=> a = b = c

   Trả lời
2. C_1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz : ( Cách chứng minh BĐT này khá đơn giản , bạn có thể tham khảo trên mạng )

   a^2 /(b+c) + b^2 / (c+a) + c^2 / ( a+b) >= [ ( a +b +c)^2]/[ b + c + c + a + a + b] = [(a+b+c)^2]/[2(a+b+c)] = (a+b+c)/2 ( đpcm )

   Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

   C_2 : Dự đoán dấu “=” xảy ra khi a=b=c . Thường thì những bài này sẽ chứng minh qua bất đẳng thức Cauchy :

   $\bullet$ a^2 / (b+c) vì cái mẫu khá vướng nên mình nghĩ đến việc khử nó bằng Cauchy , khi đó sẽ có cái sau : a^2 / ( b +c ) + (b+c)/k >= 2\sqrt( (a^2 . (b+c))/(k.(b+c))) = 2a \sqrt(1/k)mà để sài Cauchy  thì 2 số đó phải bằng nhau, nghĩa là a^2 / ( b +c ) = (b+c)/k . Giải phương trình này để tìm k :
   a^2 / ( b +c ) = (b+c)/k

   => a^2 /(2a) = (2a)/k ( Do ở đây mình dự đoán là a=b=c nên thay vào b+c = 2a )

   <=> a^2 k = 4a^2

   <=> k = 4

   -> a^2 / ( b +c ) = (b+c)/4

   Vậy số cần tìm là để 2 cái trên bằng nhau là 4

   Tương tự với mấy cái còn lại bạn cũng sẽ tìm ra được k =4

   Ý tưởng là vậy, giờ mình sẽ trình bày

   a^2 / ( b + c ) + b^2 / (c+a) + c^2 / (a+b)

   Áp dụng BĐT Cauchy : 

   a^2 /( b+c) + (b+c)/4 >= 2\sqrt( (a^2 . (b+c))/(4.(b+c))) = a

   TT : b^2 /( c+a) + (c+a)/4 >= b và c^2 /( a+b) + (a+b)/4 >= c

   -> \sum a^2 / (b+c) +  ( b + c + c + a + a  + b )/4 >= 2(a+b+c)

   -> \sum a^2 / (b+c) + [ 2(a+b+c)]/4 >= a+b+c

   -> \sum a^2 / (b+c) + (a+b+c)/2 >= a+b+c

   -> \sum a^2 / (b+c)   >= (a+b+c)/2

   Dấu “=” xảy ra khi a = b =c

   _________________________________________________________

   P/s :  \sum a^2 / ( b + c ) = VT của đề bài ( Mình ghi kí hiệu vì lười ghi lại đề :v , Ghi vào tập bạn có thể trình bày rõ ra 😀 ), cái dự đoán được gọi là điểm rơi trong bất đẳng thức nghĩa là với giá trị nào của các biến thì bất đẳng thức xảy ra ( dấu “=” xảy ra )

   Trả lời