Cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn: a+b+c=1. CMR `(ab)/(c+1) +(bc)/(a+1) +(ca)/(b+1) ` $\leq$ `1/4`

Cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn: a+b+c=1. CMR
`(ab)/(c+1) +(bc)/(a+1) +(ca)/(b+1) ` $\leq$ `1/4`

2 bình luận về “Cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn: a+b+c=1. CMR `(ab)/(c+1) +(bc)/(a+1) +(ca)/(b+1) ` $\leq$ `1/4`”

  1. Ta có:
    (ab)/(c+1)
    =(ab)/(c+a+b+c)
    =(ab)/((c+a)+(b+c))
    <=(ab)/4(1/(c+a)+1/(b+c))       (CBS)
    =1/4((ab)/(c+a)+(ab)/(b+c))
    Tương tự:
    (bc)/(a+1)<=1/4((bc)/(a+b)+(bc)/(c+a))
    (ca)/(b+1)<=1/4((ca)/(b+c)+(ca)/(a+b))
    Do đó:
    (ab)/(c+1)+(bc)/(a+1)+(ca)/(b+1)
    <=1/4( (ab+bc)/(c+a)+(ab+ca)/(b+c)+(bc+ca)/(a+b))
    =1/4[ (b(a+c))/(c+a)+(a(b+c))/(b+c)+(c(a+b))/(a+b)]
    =1/4(a+b+c)
    =1/4
    Dấu “=” xảy ra <=> a=b=c=1/3

    Trả lời
  2. Đặt A = (ab)/(c + 1) + (bc)/(a + 1) + (ca)/(b + 1)
    = (ab)/(a + b + c + c) + (bc)/(a + b + c + a) + (ac)/(a + b + c + b)
    Ta có tính chất : (1)/(a + b) \le 1/4(1/a + 1/b) (áp dụng từ (a + b)^2 \ge 4ab)
    => (ab)/(a + b + c + c) \le 1/4( (ab)/(a + c) + (ab)/(b + c) )
    (bc)/(a + b + c+ a) \le 1/4( (bc)/(a + b) + (bc)/(a + c) )
    (ac)/(a + b + c + b) \le 1/4( (ac)/(a + b) + (ac)/(b + c) )
    => A \le 1/4( (ab)/(a + c) + (bc)/(a + c) + (ab)/(b + c) + (ac)/(b + c) + (ac)/(a + b) + (bc)/(a + b) )
    => A \le 1/4( ( b(a + c))/(a + c) + ( a(b + c))/(b + c) + ( c(a + b))/(a + b) )
    => A \le 1/4(b + a + c) = 1/4 . 1 = 1/4 (đpcm)
    Dấu “=” xảy ra khi : a = b =c = 1/3
     

    Trả lời

Viết một bình luận

Câu hỏi mới