Cho ΔABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AK, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AH, N là trung điểm BC. CM: a) 4

2 bình luận về “Cho ΔABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AK, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AH, N là trung điểm BC. CM: a) 4”

1. a)

   Xét tứ giác AEHF có:   ∠AEH = $90^{o}$ (CF là đường cao)

                                      ∠AFH = $90^{o}$ (BE là đường cao)

   Nên ∠AEH + ∠AFH = $90^{o}$ + $90^{o}$ = $180^{o}$

   ⇒Tứ giác AEHF nội tiếp đtròn đkính AH (dhnbtgnt)

   Vậy A, E, H và F cùng nằm trên một đường tròn

   b)

   Ta có I là trung điểm của AH (gt)

   ⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

   ⇒ IE = IH

   ⇒ ΔIHE cân tại I

   ⇒ ∠$E_{1}$ = ∠$H_{1}$  

   mà ta lại có ∠$H_{1}$ = ∠$H_{2}$ (đối đỉnh)

   ⇒ ∠$E_{1}$ = ∠$H_{2}$  (1)

   Xét ΔBEC vuông tại E (BE là đường cao) có EN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ( N là trung điểm BC)

   Nên NE = NB ⇒ ΔNEB cân tại N

   ⇒ ∠$B_{1}$ = ∠$E_{2}$ (2)

   Ta lại có ΔBKH vuông tại K (AK là đường cao)

   Nên ∠$H_{2}$ + ∠$B_{1}$ = $90^{o}$ (3)

   Từ (1), (2) và (3) ⇒ ∠$E_{1}$ + ∠$E_{2}$ = $90^{o}$

   Vậy là ∠IEN = $90^{o}$

   ⇒ NE ⊥ IE 

   Vậy NE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH

   #vananhle101

   xin ctlhn nha 

    

   Trả lời
2. a)

   Xét tứ giác AEHF có:

   · ∠AEH = $90^{o}$ (CF là đường cao)

   · ∠AFH = $90^{o}$ (BE là đường cao)

   nên ∠AEH + ∠AFH = $90^{o}$ + $90^{o}$ = $180^{o}$

   Vậy Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

   ⇒ A, E, H và F cùng nằm trên một đường tròn

   b)

   Ta có I là Trung điểm của AH (gt)

   ⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

   ⇒ IE = IH

   ⇒ ΔIHE cân tại I

   nên ∠$E_{1}$ = ∠$H_{1}$  

   mà ∠$H_{1}$ = ∠$H_{2}$ (đối đỉnh)

   ⇒ ∠$E_{1}$ = ∠$H_{2}$  (1)

   Xét ΔBEC vuông tại E (BE là đường cao) có EN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ( N là trung điểm BC)

   Nên NE = NB ⇒ ΔNEB cân tại N

   ⇒ ∠$B_{1}$ = ∠$E_{2}$ (2)

   Ta lại có ΔBKH vuông tại K (AK là đường cao)

   Nên ∠$H_{2}$ + ∠$B_{1}$ = $90^{o}$ (3)

   Từ (1), (2) và (3) ⇒ ∠$E_{1}$ + ∠$E_{2}$ = $90^{o}$

   Tức là ∠IEN = $90^{o}$

   ⇒ NE ⊥ IE 

   Vậy NE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH

   c) 

   Ta có · ΔCIK vuông tại K ( AK là đường cao)

           ⇒ CI² = KC² + KI²   (4)

           · ΔIEN vuông tại E (∠IEN = $90^{o}$)

           ⇒ IE² = IN² – NE²   (5)

           · ΔIKN vuông tại K (AK là đường cao)

           ⇒ IN² = IK² + KN²  (6)

   Ta lại có: KN² = (KC -NC)² = KC² – 2.KC.NC + NC²  (7)

   Từ (4) và (5) ⇒ CI² – IE² = KC² + KI² – IN² + NE²

                                        = KC² + KI² – (IK² + KN²) + NE² (do (6) )

                                        = KC² + KI² – IK² – KN² + NE²

                                        = KC² – KN² + NE²

                                        = KC² – (KC² – 2.KC.NC + NC²) + NE²

                                        = KC² – KC² + 2.KC.NC – NC² + NE²

                                        = 2.KC.NC ( do NC = NE (vì EN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong ΔBCE vuông tại E) 

                                       = 2.KC – $\frac{BC}{2}$

                                       = KC.BC

   Vậy CI ² – IE ² = CK . CB

   #lobegojosensei

   xin ctlhn ak

    

   

   Trả lời