Cho ABC có A=1v, đường cao AH. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; d là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A. C

1 bình luận về “Cho ABC có A=1v, đường cao AH. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; d là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A. C”

1. Giải đáp:

    1. Ta có: $\mathrm{\angle }OAD=\mathrm{\angle }OBC$ (cùng chắn AB), $\mathrm{\angle }AHD=\mathrm{\angle }ABC$ (cùng nội tiếp ABCD). 

   Do đó, $\mathrm{\angle }BOD={180}^{\circ }–\mathrm{\angle }AOD–\mathrm{\angle }BOC={180}^{\circ }–2\mathrm{\angle }ABC–2\mathrm{\angle }AHD=2\mathrm{\angle }ADH–2\mathrm{\angle }ABC$

   $\mathrm{\angle }EOC=\mathrm{\angle }EAC–\mathrm{\angle }OAC={90}^{\circ }–\mathrm{\angle }ABC–\mathrm{\angle }OBC=\mathrm{\angle }ADH–\mathrm{\angle }ABC$

   Vậy, ta có $\mathrm{\angle }BOD+\mathrm{\angle }EOC=\mathrm{\angle }ADH$, suy ra $OD\perp OE$.

   2. Ta có: $BD=AB=R$, $CE=AC=R$, suy ra $BD+CE=2R$. 

   Vậy, cần chứng minh $DE=2R$. Ta có: 

   $\mathrm{\angle }BOD=2\mathrm{\angle }BAC=2\mathrm{\angle }EOC$, suy ra tam giác $BOD$ và $EOC$ đồng dạng.

   Do đó, ${\displaystyle \frac{BO}{EO}}={\displaystyle \frac{OD}{OC}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{R}{R}}={\displaystyle \frac{OD}{CE}}\Rightarrow OD={\displaystyle \frac{CE}{2}}$

   Tương tự, ta có $OE={\displaystyle \frac{BD}{2}}$. 

   Vậy, $DE=OD+OE={\displaystyle \frac{BD}{2}}+{\displaystyle \frac{CE}{2}}=BD+CE=2R$.

   3. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD,CE$. Ta có $OM=ON=R$, vì $M,N$ cũng là các điểm trên đường tròn tâm $O$. 

   Do đó, tam giác $OMB$ và tam giác $ONC$ đồng dạng, suy ra ${\displaystyle \frac{BD}{R}}={\displaystyle \frac{CE}{R}}\Rightarrow BD\cdot CE=R^2$.

   4. Gọi $F$ là giao điểm của $BC$ và $DE$. Ta cần chứng minh $FD$ vuông góc với $FE$. 

   Ta có: 

   $\mathrm{\angle }EFB=\mathrm{\angle }EOC$, $\mathrm{\angle }CFE=\mathrm{\angle }OCB$ (cùng nội tiếp). 

   Do đó, $\mathrm{\angle }BFE=\mathrm{\angle }BOC–\mathrm{\angle }CFE–\mathrm{\angle }EFB={180}^{\circ }–2\mathrm{\angle }ABD–2\mathrm{\angle }ACD=2\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }BDC$ (cùng chắn BD). 

   Vậy, tam giác $BFE$ và tam giác $BDC$ đồng dạng. Do đó, ${\displaystyle \frac{FD}{FE}}={\displaystyle \frac{BD}{BE}}={\displaystyle \frac{R}{R}}=1$, suy ra $FD=FE$ và $FD$ vuông góc với $FE$. 

   Vậy, ta có $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $DE$.

   Lời giải và giải thích chi tiết:

    

   Trả lời