Cho các phương trình x^ 2 + ax + b = 0 và x^ 2 + bx + a = 0, trong đó 1/ a + 1/ b = 1 2 . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm
Cho các phương trình x^ 2 + ax + b = 0 và x^ 2 + bx + a = 0, trong đó 1/ a + 1/ b = 1 2 . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm
Câu hỏi mới
$$\begin{cases}x^2 + ax + b = 0 \\ x^2 + bx + a = 0 \\ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{2}\end{cases}$$
Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm, ta sẽ chứng minh rằng phương trình thứ nhất hoặc phương trình thứ hai có delta âm.
– Đối với phương trình thứ nhất, ta có:
$$\Delta_a = a^2 – 4b$$
Nếu $\Delta_a <0$, phương trình thứ nhất sẽ có hai nghiệm phức. Nếu $\Delta_a \geq 0$, ta sẽ có $\Delta_b = b^2-4a$.
– Đối với phương trình thứ hai, ta có:
$$\Delta_b = b^2 – 4a$$
Nếu $\Delta_b<0$, phương trình thứ hai sẽ có hai nghiệm phức. Nếu $\Delta_b\geq 0$, ta sẽ có $\Delta_a = a^2-4b$.
Giả sử $\Delta_a \geq 0$, $\Delta_b \geq 0$, ta có thể tính được $a$ và $b$:
$$\begin{aligned}\frac{1}{a}+\frac{1}{b} &= \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow 2b+2a &= ab \\ \Leftrightarrow ab-2a-2b&=0 \\ \Leftrightarrow ab-2a-2b+4 &= 4 \\ \Leftrightarrow (a-2)(b-2)&=4\end{aligned}$$
Để thỏa mãn điều kiện này, ta có thể chọn $a$ và $b$ như sau: $(a,b) = (3,6)$. Tuy nhiên, khi thay $a=3$, $b=6$ vào phương trình ta được:
$$\begin{cases}x^2 + 3x + 6 = 0 \\ x^2 + 6x + 3 = 0 \end{cases}$$
Cả hai phương trình đều có delta dương và do đó sẽ không có nghiệm phức. Vậy giả sử sai. Do đó, ít nhất một trong các hệ số $a$, $b$ khiến delta âm và phương trình tương ứng có ít nhất một nghiệm.