Cho các phương trình x^ 2 + ax + b = 0 và x^ 2 + bx + a = 0, trong đó 1/ a + 1/ b = 1 2 . Chứng minh rằng ít nhất

1 bình luận về “Cho các phương trình x^ 2 + ax + b = 0 và x^ 2 + bx + a = 0, trong đó 1/ a + 1/ b = 1 2 . Chứng minh rằng ít nhất”

1. Bài toán cho ta phương trình:
   $$\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+b=0\\ x^2+bx+a=0\\ {\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$
   Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm, ta sẽ chứng minh rằng phương trình thứ nhất hoặc phương trình thứ hai có delta âm.
   – Đối với phương trình thứ nhất, ta có:
   $${\mathrm{\Delta }}_a=a^2–4b$$
   Nếu ${\mathrm{\Delta }}_a<0$, phương trình thứ nhất sẽ có hai nghiệm phức. Nếu ${\mathrm{\Delta }}_a\ge 0$, ta sẽ có ${\mathrm{\Delta }}_b=b^2-4a$.
   – Đối với phương trình thứ hai, ta có:
   $${\mathrm{\Delta }}_b=b^2–4a$$
   Nếu ${\mathrm{\Delta }}_b<0$, phương trình thứ hai sẽ có hai nghiệm phức. Nếu ${\mathrm{\Delta }}_b\ge 0$, ta sẽ có ${\mathrm{\Delta }}_a=a^2-4b$.
   Giả sử ${\mathrm{\Delta }}_a\ge 0$, ${\mathrm{\Delta }}_b\ge 0$, ta có thể tính được $a$ và $b$:
   $$\begin{array}{rl}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}& =\frac{1}{2}\\ \iff 2b+2a& =ab\\ \iff ab-2a-2b& =0\\ \iff ab-2a-2b+4& =4\\ \iff (a-2)(b-2)& =4\end{array}$$
   Để thỏa mãn điều kiện này, ta có thể chọn $a$ và $b$ như sau: $(a,b)=(3,6)$. Tuy nhiên, khi thay $a=3$, $b=6$ vào phương trình ta được:
   $$\{\begin{array}{l}{x}^2+3x+6=0\\ x^2+6x+3=0\end{array}$$
   Cả hai phương trình đều có delta dương và do đó sẽ không có nghiệm phức. Vậy giả sử sai. Do đó, ít nhất một trong các hệ số $a$, $b$ khiến delta âm và phương trình tương ứng có ít nhất một nghiệm.

    

   Trả lời