cho các số a,b,c> 9/4. tìm GTNN của biểu thức Q=(x/2 căny-3)+(y/2cănz-3)+(z/2căny-3)

cho các số a,b,c> 9/4. tìm GTNN của biểu thức Q=(x/2 căny-3)+(y/2cănz-3)+(z/2căny-3)

2 bình luận về “cho các số a,b,c> 9/4. tìm GTNN của biểu thức Q=(x/2 căny-3)+(y/2cănz-3)+(z/2căny-3)”

  1. $AM-GM:$
    $\dfrac{x}{2\sqrt{y}-3}+2\sqrt{y}-3 \ge 2\sqrt{x}$
    $\dfrac{y}{2\sqrt{z}-3}+2\sqrt{z}-3 \ge 2\sqrt{y}$
    $\dfrac{z}{2\sqrt{y}-3}+2\sqrt{y}-3 \ge 2\sqrt{z}$
    $=>$ $Q+2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z}-9 \ge 2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z}$
    $=>$ $Q \ge 9$
    Dấu $”=”:x=y=z=9$
     

    Trả lời
  2. Giải đáp:
     
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    Đặt $ : t = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} + 2\sqrt{z}$
    $ x; y; z > \dfrac{9}{4} ⇒ t > 9 ⇒ t – 9 > 0$
    Áp dụng lần lượt BĐT Schwarz (BĐT cộng mẫu)
    và Cauchy:
    $ 4Q = \dfrac{(2\sqrt{x})²}{2\sqrt{y} – 3} + \dfrac{(2\sqrt{y})²}{2\sqrt{z} – 3} + \dfrac{(2\sqrt{z})²}{2\sqrt{x} – 3}$
    $ ≥ \dfrac{(2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} + 2\sqrt{z})²}{(2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} + 2\sqrt{z}) – 9}$
    $ = \dfrac{t²}{t – 9} = \dfrac{(t² – 81) + 81}{t – 9}$
    $ = t + 9 + \dfrac{81}{t – 9}$
    $ = (t – 9) + \dfrac{81}{t – 9} + 18$
    $ ≥ 2\sqrt{(t – 9).\dfrac{81}{t – 9}} + 18 = 36$
    $ ⇒ MinQ = 9$ khi đồng thời:
    $ x = y = z$ và $ t – 9 = \dfrac{81}{t – 9} ⇔ t = 18$
    $ ⇔ x = y = z = 9$

    Trả lời

Viết một bình luận

Câu hỏi mới