Cho các số nguyên tố $p$ và $q$ lớn hơn 3 sao cho $p^2+q$ là số chính phương. Chứng minh $p^2+q$ chia hết cho 12.

2 bình luận về “Cho các số nguyên tố $p$ và $q$ lớn hơn 3 sao cho $p^2+q$ là số chính phương. Chứng minh $p^2+q$ chia hết cho 12.”

1. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

    Xét p^2+q=a^2 ( a in N )

   Mà p,q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p,q lẻ

   ->a chẵn ->a^2 chia hết 4

   hay p^2+q chia hết 4

   Lại có :  p^2+q=a^2

   Mà p^2 chia 3 dư 1 ; vì p chia 3 dư 1;2

   q chia 3 dư 1;2

   a^2 chia 3 dư 0,1

   nên a^2 chia 3 dư 0

   hay p^2+q chia hết 3

   Do đó : p^2+q chia hết 3.4=12

   ->đpcm

   Trả lời
2. Đặt p^2 + q = a^2 a \in NN^**

   Vì p,q nguyên tố lớn hơn 3

   => q \equiv 1,2 (mod 3)

   p^2 \equiv 1 (mod 3)

   => a^2 \equiv 0 ; 2 (mod 3)

   Mà số chính phương chỉ đồng dư với 0,1 theo mod 3

   => a^2 \equiv 0 (mod 3)

   => p^2 + q \vdots 3 (1)

   Lại có : p,q đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 => p ; q lẻ

   => p^2 + q là số chẵn

   => p^2 + q \vdots 2 

   => a^2 \vdots 2

   => a^2 \vdots 2^2 = 4

   => p^2 + q \vdots 4 (2)

   Từ (1),(2), (3 ; 4) = 1 => p^2 + q \vdots 3 . 4 = 12 

   => đpcm

    

   Trả lời