Cho các số thực dương `x,y,z` thoả mãn `x^2+y^2+z^2=1/3`. Tìm GTNN của biểu thức `B=(x^3)/(2x+3y+5z)+(y^3)/(2y+3z+5x)+(z^3)/(

2 bình luận về “Cho các số thực dương `x,y,z` thoả mãn `x^2+y^2+z^2=1/3`. Tìm GTNN của biểu thức `B=(x^3)/(2x+3y+5z)+(y^3)/(2y+3z+5x)+(z^3)/(”

1. B=x^3/(2x+3y+5z)+y^3/(2y+3z+5x)+z^3/(2z+3x+5y)

   =x^4/(2x^2+3xy+5xz)+y^4/(2y^2+3yz+5xy)+z^4/(2z^2+3xz+5yz)

   Áp dụng BĐT SVAC-XƠ ta có:

   B≥((x^2+y^2+z^2)^2)/((2x^2+3xy+5xz)+(2y^2+3yz+5xy)+(2z^2+3xz+5yz))

   =>B≥((x^2+y^2+z^2)^2)/((2x^2+2y^2+2z^2)+(8xy+8xz+8yz))

   =>B≥((x^2+y^2+z^2)^2)/(2(x^2+y^2+z^2)+8(xy+xz+yz))

   Áp dụng BĐT Cauchy với số thực không âm ta có: $\begin{cases}(x+y)^2≥4xy\\(y+z)^2≥4yz\\(x+z)^2≥4xz\\\end{cases}$=> $\begin{cases}x^2+2xy+y^2≥4xy\\y^2+2yz+z^2≥4yz\\x^2+2xz+z^2≥4xz\\\end{cases}$=> $\begin{cases}x^2+y^2≥2xy\\y^2+z^2≥2yz\\x^2+z^2≥2xz\\\end{cases}$

   =>(x^2+y^2)+(y^2+z^2)+(x^2+z^2)≥2xy+2yz+2xz

   =>2(x^2+y^2+z^2)≥2(xy+yz+xz)

   =>x^2+y^2+z^2≥xy+yz+xz

   =>10(x^2+y^2+z^2)≥8(xy+yz+xz)+2(x^2+y^2+z^2)

   =>((x^2+y^2+z^2)^2)/(2(x^2+y^2+z^2)+8(xy+yz+xz))≥((x^2+y^2+z^2)^2)/(10(x^2+y^2+z^2))=(x^2+y^2+z^2)/10=1/30(x^2+y^2+z^2=1/3)

   =>x^4/(2x^2+3xy+5xz)+y^4/(2y^2+3yz+5xy)+z^4/(2z^2+3xz+5yz)=1/30

   =>B=1/30

   Dấu “=” xảy ra khi: x^3=y^3=z^3=>x=y=z

   =>x^2=y^2=z^2=>x^2+y^2+z^3=3x^2=1/3

   =>x^2=1/9=>x=1/3

   =>$MIN_B=$1/30 tại x=y=z=1/3 

   Trả lời
2. Giải đáp:

    

   Lời giải và giải thích chi tiết:

    B=(x^3)/(2x+3y+5z)+(y^3)/(2y+3z+5x)+(z^3)/(2z+3x+5y)

   B=(x^4)/(2x^2+3xy+5zx)+(y^4)/(2y^2+3yz+5xy)+(z^4)/(2z^2+3xz+5yz)

   Áp dụng BĐT bunhia dạng phân thức ta có:

   B>=(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2)+8(xy+yz+zx))

   Mặt khác:xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2(cosi)

   <=>8(xy+yz+zx)+2(x^2+y^2+z^2)<=10(x^2+y^2+z^2)

   <=>B>=(x^2+y^2+z^2)/10=1/30

   Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1/3

   Vậy min_B=1/30<=>x=y=z=1/3

   Trả lời