Cho `x“\color{olive}{\bb \text{,}}` `y“\color{olive}{\bb \text{,}}` `z > 0` thỏa mãn `xy + yz + zx = 1“\color{teal}{\bb \t

Cho `x“\color{olive}{\bb \text{,}}` `y“\color{olive}{\bb \text{,}}` `z > 0` thỏa mãn `xy + yz + zx = 1“\color{teal}{\bb \text{.}}` Chứng minh rằng: `10x^{2} + 10y^{2} + z^{2} \geq 4“\color{green}{\bb \text{.}}`

2 bình luận về “Cho `x“\color{olive}{\bb \text{,}}` `y“\color{olive}{\bb \text{,}}` `z > 0` thỏa mãn `xy + yz + zx = 1“\color{teal}{\bb \t”

  1. * Bạn tham khảo *
    Áp dụng bđt Cô – si cho x;y;z > 0
    2x^2 + 2y^2 \ge 2sqrt{2x^2 . 2y^2} = 4xy
    8x^2 + (z^2)/2 \ge 2sqrt{8x^2 . (z^2)/2} = 4xz
    8y^2 + (z^2)/2 \ge 2sqrt{8y^2 . (z^2)/2} = 4yz
    => 10x^2 + 10y^2 + z^2 \ge 4xy + 4xz + 4yz = 4(xy + yz + xz) = 4
    => đpcm
    Dấu “=” xảy ra khi:
    {(x^2 = y^2),( 8x^2 = (z^2)/2),( 8y^2 = (z^2)/2),(xy + xz + yz = 1),(x ; y ; z > 0):}
    <=> {(x = y),(z = 4x),(z = 4y),(xy + xz + yz = 1),(x ; y ; z > 0):}
    <=> {(x = y = 1/3),(z = 4/3):} (thỏa mãn)
     

    Trả lời
  2. Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:
    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :
    2x^2 +2y^2 >=2\sqrt{2x^2 . 2y^2}=2\sqrt{4x^2 y^2}=2.2xy=4xy (1)
    8x^2 +(z^2)/2 >=2\sqrt{8x^2 . (z^2)/2}=2\sqrt{4x^2 z^2}=2.2xz=4xz (2)
    8y^2 +(z^2)/2 >=2\sqrt{8y^2 . (z^2)/2}=2\sqrt{4y^2 z^2}=2.2yz=4yz (3)
    Lấy (1)+(2)+(3) theo vế, ta được : 
    2x^2 +2y^2 +8x^2 +(z^2)/2+8y^2 +(z^2)/2>=4xy+4xz+4yz
    <=>10x^2 +10y^2 +10z^2 >=4(xy+yz+zx)=4.1=4
    Dấu “=” xảy ra <=> $\begin{cases}x=y=\dfrac{1}{3}\\z=\dfrac{4}{3}\end{cases}$

    Trả lời

Viết một bình luận

Câu hỏi mới