Cho đường tròn (O) đkính BC. Trên (O) lấy A sao cho AB > AC. Hai tiếp tuyến kẻ từ A và B của (O) cắt nhau tại D. Chọn điểm M

1 bình luận về “Cho đường tròn (O) đkính BC. Trên (O) lấy A sao cho AB > AC. Hai tiếp tuyến kẻ từ A và B của (O) cắt nhau tại D. Chọn điểm M”

1. a) Ta có $\mathrm{\angle }AOB=2\mathrm{\angle }ACB$ (cung cùng nằm trên đường tròn). Do đó, $\mathrm{\angle }AOD=\mathrm{\angle }AOB–\mathrm{\angle }BOD=2\mathrm{\angle }ACB–\mathrm{\angle }BOD$. Tương tự, $\mathrm{\angle }BOD=\mathrm{\angle }ABC$, nên $\mathrm{\angle }AOD=2\mathrm{\angle }ACB–\mathrm{\angle }ABC$.

   Mặt khác, $\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }ACD=\mathrm{\angle }ACB$, nên tam giác ABD và ADC đồng dạng. Do đó, $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AD}$, hay $AB=AC$ hoặc $AD=BD$. Vì $AB>AC$, nên $AD=BD$.

   Suy ra, $\mathrm{\angle }ADB=\mathrm{\angle }BAD=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }BOA$. Mà tứ giác DAOB là tứ giác nội tiếp (do $\mathrm{\angle }AOD+\mathrm{\angle }BOA={180}^{\circ }$), nên $\mathrm{\angle }ADB=\mathrm{\angle }DOB$.

   Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Khi đó, ta có $(ED,AB)=-1$ (do $ABCD$ là tứ giác điều hòa). Do đó, $DM.DN=D{B}^2$ (do $DMNB$ là tứ giác điều hòa).

   b) Gọi $H$ là trung điểm của $MN$. Khi đó, $HD$ là đường trung trực của $MN$, nên $HD\perp AB$. Ta cần chứng minh $HD$ là phân giác của $\mathrm{\angle }AHB$.

   Gọi $P$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Khi đó, $P$ là trung điểm của $BC$ (do $ABCD$ là tứ giác điều hòa). Do đó, $PH$ là đường trung trực của $BC$, nên $PH\perp AB$.

   Ta có $\mathrm{\angle }PHD=\mathrm{\angle }PHM+\mathrm{\angle }MHD=\mathrm{\angle }PNM+\mathrm{\angle }MAB=\mathrm{\angle }ANB+\mathrm{\angle }BAC$.

   Mặt khác, $\mathrm{\angle }ANB={180}^{\circ }–\mathrm{\angle }ADB={180}^{\circ }–\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }BAC$. Do đó, $\mathrm{\angle }PHD=2\mathrm{\angle }BAC$.

   Tương tự, ta cũng có $\mathrm{\angle }AHB=2\mathrm{\angle }BAC$. Vậy $HD$ là phân giác của $\mathrm{\angle }AHB$.

   c) Gọi $K^{\prime }$ là giao điểm của $NI$ và $CB$. Ta cần chứng minh $K^{\prime }\equiv K$.

   Ta có $\mathrm{\angle }NDI=\mathrm{\angle }NBO=\mathrm{\angle }ACB$, nên $ND\parallel AC$. Mặt khác, $NI\parallel DO$, nên $NDIO$ là hình bình hành. Do đó, $NO=ID=DM$.

   Gọi $K”$ là giao điểm của $DM$ và $CB$. Khi đó, ta có $(K”E,AB)=-1$ (do $ABCD$ là tứ giác điều hòa), nên $K”$ là trung điểm của $CB$. Do $NO\parallel CB$

   nên $K”O=NO–NK”=DM–NI=MN$.

   Mặt khác, $K”$ là trung điểm của $CB$, nên $K”O\parallel CB$. Do đó, $MN\parallel CB$.

   Gọi $K^{\prime }$ là giao điểm của $NI$ và $CB$. Khi đó, ta có $(K^{\prime }E,AB)=-1$ (do $ABCD$ là tứ giác điều hòa), nên $K^{\prime }$ là trung điểm của $CB$. Vậy $K^{\prime }\equiv K$.

    

   Trả lời