Cho đường tròn (O) và đường kính AB=2R cố định. Kẻ đường kính CD sao cho CD vuông góc với AB. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC. n

1 bình luận về “Cho đường tròn (O) và đường kính AB=2R cố định. Kẻ đường kính CD sao cho CD vuông góc với AB. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC. n”

1. Gọi $O$ là tâm đường tròn $(O)$, $H$ là hình chiếu của $O$ lên đường $CD$, $K$ là giao điểm của $OH$ và $AB$. Ta có $OH=\frac{1}{2}AB=R$ vì $AB$ là đường kính của đường tròn $(O)$.

   Gọi $\alpha =\mathrm{\angle }AOB$, khi đó $\mathrm{\angle }ADB=\alpha$ do $AD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $D$. Khi đó, ta có:

   $\mathrm{\angle }AMB=\mathrm{\angle }ADB=\alpha$

   $\mathrm{\angle }ANB=\mathrm{\angle }ADB=\alpha$

   $\mathrm{\angle }AHB={90}^{\circ }–\mathrm{\angle }ACD={90}^{\circ }–\frac{\alpha }{2}$

   $\mathrm{\angle }AOK={90}^{\circ }–\mathrm{\angle }AOB={90}^{\circ }–\alpha$

   Do đó, ta có:

   $\mathrm{\angle }AMK=\mathrm{\angle }AMB–\mathrm{\angle }KMB=\alpha –({180}^{\circ }–\mathrm{\angle }AHB)=\alpha –{90}^{\circ }+\frac{\alpha }{2}=\frac{3\alpha }{2}–{90}^{\circ }$

   $\mathrm{\angle }ANK=\mathrm{\angle }ANB–\mathrm{\angle }KNB=\alpha –({180}^{\circ }–\mathrm{\angle }AOK)=\alpha –{90}^{\circ }+\alpha =2\alpha –{90}^{\circ }$

   Vì $OH\perp CD$ nên $OH\parallel BM$, suy ra $\mathrm{\angle }KMB=\mathrm{\angle }OHK$. Do đó:

   $\mathrm{\angle }AMN=\mathrm{\angle }AMK+\mathrm{\angle }KNB=\frac{3\alpha }{2}–{90}^{\circ }+2\alpha –{90}^{\circ }=\frac{5\alpha }{2}–{180}^{\circ }$

   Ta có:

   $\mathrm{\angle }AEB=\mathrm{\angle }AED+\mathrm{\angle }DEB=\mathrm{\angle }ADB+\mathrm{\angle }DEB=\alpha +\frac{\alpha }{2}=\frac{3\alpha }{2}$

   $\mathrm{\angle }BNE=\mathrm{\angle }AOB–\mathrm{\angle }AON–\mathrm{\angle }BON=\alpha –\mathrm{\angle }AKN–\mathrm{\angle }KMB=\alpha –({90}^{\circ }–\mathrm{\angle }AMN)–\mathrm{\angle }OHK=\frac{5\alpha }{2}–{180}^{\circ }$

   Do đó, $\mathrm{\angle }AEB=\mathrm{\angle }BNE$, suy ra $AB$ song song với $EN$. Khi đó, ta có:

   $\frac{AM}{BN}=\frac{AE}{BE}=\frac{AD\sin \mathrm{\angle }ADB}{BD\sin \mathrm{\angle }BDN}=\frac{R\sin \alpha }{R\sin \frac{\alpha }{2}}=2\cos \frac{\alpha }{2}$

   Vì $\alpha$ là cố định nên $\cos \frac{\alpha }{2}$ cũng là cố định, do đó $\frac{AM}{BN}$ là cố định. Suy ra $AM\cdot BN$ là cố định khi $M$ chuyển động trên cung nhỏ $BC$.

   Trả lời