Cho đường tròn (O) và đường kính AB=2R cố định. Kẻ đường kính CD sao cho CD vuông góc với AB. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC. n

1 bình luận về “Cho đường tròn (O) và đường kính AB=2R cố định. Kẻ đường kính CD sao cho CD vuông góc với AB. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC. n”

1. Gọi $O$ là tâm đường tròn $(O)$, $H$ là hình chiếu của $O$ lên đường $CD$, $K$ là giao điểm của $OH$ và $AB$. Ta có $OH = \frac{1}{2} AB = R$ vì $AB$ là đường kính của đường tròn $(O)$.

   Gọi $\alpha = \angle AOB$, khi đó $\angle ADB = \alpha$ do $AD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $D$. Khi đó, ta có:

   $\angle AMB = \angle ADB = \alpha$

   $\angle ANB = \angle ADB = \alpha$

   $\angle AHB = 90^\circ – \angle ACD = 90^\circ – \frac{\alpha}{2}$

   $\angle AOK = 90^\circ – \angle AOB = 90^\circ – \alpha$

   Do đó, ta có:

   $\angle AMK = \angle AMB – \angle KMB = \alpha – (180^\circ – \angle AHB) = \alpha – 90^\circ + \frac{\alpha}{2} = \frac{3\alpha}{2} – 90^\circ$

   $\angle ANK = \angle ANB – \angle KNB = \alpha – (180^\circ – \angle AOK) = \alpha – 90^\circ + \alpha = 2\alpha – 90^\circ$

   Vì $OH \perp CD$ nên $OH \parallel BM$, suy ra $\angle KMB = \angle OHK$. Do đó:

   $\angle AMN = \angle AMK + \angle KNB = \frac{3\alpha}{2} – 90^\circ + 2\alpha – 90^\circ = \frac{5\alpha}{2} – 180^\circ$

   Ta có:

   $\angle AEB = \angle AED + \angle DEB = \angle ADB + \angle DEB = \alpha + \frac{\alpha}{2} = \frac{3\alpha}{2}$

   $\angle BNE = \angle AOB – \angle AON – \angle BON = \alpha – \angle AKN – \angle KMB = \alpha – (90^\circ – \angle AMN) – \angle OHK = \frac{5\alpha}{2} – 180^\circ$

   Do đó, $\angle AEB = \angle BNE$, suy ra $AB$ song song với $EN$. Khi đó, ta có:

   $\frac{AM}{BN} = \frac{AE}{BE} = \frac{AD \sin \angle ADB}{BD \sin \angle BDN} = \frac{R \sin \alpha}{R \sin \frac{\alpha}{2}} = 2 \cos \frac{\alpha}{2}$

   Vì $\alpha$ là cố định nên $\cos \frac{\alpha}{2}$ cũng là cố định, do đó $\frac{AM}{BN}$ là cố định. Suy ra $AM \cdot BN$ là cố định khi $M$ chuyển động trên cung nhỏ $BC$.

   Trả lời