Cho đường tròn $\textbf{(}$`\text{O}“\color{brown}{\bb \text{;}}` `\text{R}`$\textbf{)}$`\color{olive}{\bb \text{,}}` đường

Cho đường tròn $\textbf{(}$`\text{O}“\color{brown}{\bb \text{;}}` `\text{R}`$\textbf{)}$`\color{olive}{\bb \text{,}}` đường kính `\text{AB}“\color{teal}{\bb \text{.}}` Lấy `\text{C}` thuộc đường tròn $\textbf{(}$`\text{O}`$\textbf{)}$ $\color{magenta}{\textbf{(}}$`\text{C}` khác `\text{A}` và `\text{B}`$\color{magenta}{\textbf{)}}$`\color{teal}{\bb \text{.}}` Tiếp tuyến tại `\text{A}` của đường tròn $\textbf{(}$`\text{O}`$\textbf{)}$ cắt đường thẳng `\text{BC}` tại `\text{M}` $\color{purple}{\textbf{(}}$cần `\text{GT}“\color{olive}{\bb \text{,}}` `\text{KL}` và hình vẽ$\color{purple}{\textbf{)}}$`\color{green}{\bb \text{.}}`
`\color{red}{\bb \text{a)}}` Chứng minh rằng `\Delta\text{ABC}` là tam giác vuông và `4\text{R}^{2} = \text{BC}\cdot\text{BM}“\color{green}{\bb \text{.}}`
`\color{red}{\bb \text{b)}}` Gọi `\text{K}` là trung điểm của `\text{MA}“\color{teal}{\bb \text{.}}` Chứng minh rằng `\text{KC}` là tiếp tuyến của đường tròn $\textbf{(}$`\text{O}`$\textbf{)}$`\color{green}{\bb \text{.}}`
`\color{red}{\bb \text{c)}}` Tia `\text{KC}` cắt tiếp tuyến tại `\text{B}` của đường tròn $\textbf{(}$`\text{O}`$\textbf{)}$ tại `\text{D}“\color{olive}{\bb \text{,}}` chứng minh rằng: `\text{MO}“\bot“\text{AD}“\color{green}{\bb \text{.}}`

2 bình luận về “Cho đường tròn $\textbf{(}$`\text{O}“\color{brown}{\bb \text{;}}` `\text{R}`$\textbf{)}$`\color{olive}{\bb \text{,}}` đường”

  1. Giải đáp:
     
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    $\text{a) O là trung điểm AB ⇒ O là trung tuyến ΔABC}$
    $\text{Lại có OA=OB =OC =AB/2}$
    $\text{⇒ ΔABC vuông tại C (t/c đường trung tuyến = 1/2 cạnh huyền) (đpcm)}$
    $\text{MA là tiếp tuyến ⇒ MA ⊥AB ⇒ΔMAB vuông tại A}$
    $\text{$\widehat{ACB}$=$90^0$ ⇒AC⊥BM}$
    $\text{⇒AC là đường cao ΔMAB⇒áp dụng t/c đường cao trong ΔMAB có}$
    $\text{AB² =BC.BM =(2R)² ⇒ 4R² =BC.BM (đpcm)}$
    $\text{b) ΔMAC vuông tại C, K là trung điểm MA}$
    $\text{⇒ CK là trung tuyến của ΔMAC ⇒KC=KA}$
    $\text{Xét ΔAOK và ΔCOK có}$
    $\text{KC=KA (gt); OC=OA=R; KO chung}$
    $\text{⇒ΔAOK = ΔCOK ⇒ $\widehat{KAO}$=$\widehat{KCO}$=$90^0$}$
    $\text{⇒ KC ⊥CO ⇒ KC là tiếp tuyến của đt (O) (đpcm)}$ 
    $\text{c) OA² =KO² -AK²; OA² =OB² =OD²-BD²}$ 
    $\text{⇒2AO² =KO² +OD² -AK²-BD²= KD² -AK²-BD²}$
    $\text{⇒2AO² =AK² +CD² +2AK.CD -AK² -BD²}$
    $\text{⇒ 2AO² = 2AK.CD , mà AK =MA/2}$
    $\text{⇒ 2AO² =MA.CD ⇒ΔABD đồng dạng ΔMAO}$
    $\text{⇒ $\widehat{DAB}$ +$\widehat{MOA}$=$90^0$  }$
    $\text{⇒ $\widehat{AEO}$=$90^0$ ⇒MO⊥AD (đpcm)}$

    cho-duong-tron-tetbf-tet-o-color-brown-bb-tet-tet-r-tetbf-color-olive-bb-tet-duong

    Trả lời
  2. * Bạn tham khảo *
    a) Ta có:
    C thuộc đườngt tròn (O) ; AB là đường kính
    => \Delta ABC vuông tại C
    => AC ⊥ BC hay AC ⊥ BM
    Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O)
    => AM ⊥ OA hay AM ⊥ AB
    => \Delta AMB vuông tại A
    Áp dụng hệ thức lượng cho \Delta AMB vuông tại A đường cao AC
    BC . BM = AB^2
    BC . BM = (2R)^2 = 4R^2
    => đpcm
    b) \Delta MAC vuông tại C có K là trung điểm của AM
    => KC là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM
    => KC = KA=  KM
    Xét \Delta KAO và \Delta KCO có:
    KC = KA (Chứng minh trên) ; KO : chung ; OA = OC = R
    => \Delta KAO = \Delta KCO (c-c-c)
    => hat{KAO} = hat{KCO} = 90^o
    => KC ⊥ OC tại C
    Mà C thuộc đường tròn (O)
    => KC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
     c) Gọi L là giao điểm của MO và AD
    Vì KC,KA lần lượt là tiếp tuyến của (O) nên OK là phân giác góc hat{AOC} và OC ⊥ CK tại C và KC = KA
    => hat{KOC} = 1/2 hat{AOC}
    DC,DB lần lượt là tiếp tuyến của (O) nên OD là phân giác góc hat{BOC} và DC = DB
    => hat{COD} = 1/2 hat{BOC}
    => hat{KOC} + hat{COD} = 1/2hat{AOC} + 1/2 hat{BOC}
                                            = 1/2(hat{AOC} + hat{BOC}) = 1/2 . 180^o = 90^o (2 góc kề bù)
    => hat{KOD} = 90^o => \Delta KOD vuông tại O
    Áp dụng hệ thức lượng cho \Delta KOD vuông tại O đường cao OC
    => OC^2 = KC . CD
    => OA^2 = KC . CD (Do OC = OA = r)
    => OA^2 = AK . BD (Do KC = AK ; CD = BD)
    => (OA)/(AK) = (BD)/(OA) 
    => (OA)/(1/2 AM) = (BD)/(1/2 AB)
    => (OA)/(AM) = (BD)/(AB) ; hat{OAM} = hat{ABD} = 90^o
    => \Delta OAM $\backsim$ \Delta DBA
    => hat{OMA} = hat{DAB}
    Mà hat{DAB} + hat{MCL} = 90^o
    => hat{OMA} + hat{MCL} = 90^o
    hay hat{AML} + hat{MCL} = 90^o
    Mà \Delta MAL có :
    hat{AML} + hat{MCL} + hat{MLA} = 180^o
    => hat{MLA} = 180^o – 90^o = 90^o
    => MO  ⊥ AD tại L

    cho-duong-tron-tetbf-tet-o-color-brown-bb-tet-tet-r-tetbf-color-olive-bb-tet-duong

    Trả lời

Viết một bình luận

Câu hỏi mới