Cho `n in NN, n>=2` và số nguyên tố `p` thỏa mãn `p-1 vdots n` đồng thời `n^3 -1 vdots p`. Chứng minh `n+p` là số chính phươn

1 bình luận về “Cho `n in NN, n>=2` và số nguyên tố `p` thỏa mãn `p-1 vdots n` đồng thời `n^3 -1 vdots p`. Chứng minh `n+p` là số chính phươn”

1. $\\$

   $n|p-1\to p-1=nk(k\in N^*)$

   $n|p-1\to p-1\le n >n-1\to p>n-1$

   $p|n^3-1\to p|(n-1)(n^2+n+1)$ mà $p>n-1\to p|n^2+n+1$

   $\to (nk+1)|n^2+n+1\to n^2+n+1\ge nk+1\to n+1\ge k$

   $nk+1|n^2+n+1\to nk+1|n^2k +nk+k,nk+1|nk+1\to nk+1|kn^2+n$

   $\to (n^2k+nk+k-kn^2-n)\vdots (nk+1)$

   $\to (nk+k-n)\vdots (nk+1)\to kn+k-n\ge nk+1\to k\ge n+1$ mà $k\le n+1$

   $\to k=n+1\to p=n^2+n+1\to n+p=(n+1)^2$ là số chính phương.

   Trả lời