cho nửa đường tròn tâm o đường kính MN, lấy hai điểm I và Q thuộc nửa đường tròn sao cho điểm Q thuộc cung MI. Gọi H là giao

1 bình luận về “cho nửa đường tròn tâm o đường kính MN, lấy hai điểm I và Q thuộc nửa đường tròn sao cho điểm Q thuộc cung MI. Gọi H là giao”

1. a/ Ta có hai tam giác $IQM$ và $QHN$ đồng dạng (do có cùng hai góc vuông và đỉnh chung $Q$), từ đó suy ra:
   $$\frac{QM}{IQ}=\frac{QH}{QI}\iff QH=\frac{Q{I}^2}{QM}$$
   Vì $K$ là trung điểm của $MN$, ta có $HK\perp MN$ và $HK=\frac{1}{2}MN$. Do đó:
   $$HK=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}(OM+ON)=\frac{OI}{2}$$
   Từ đó suy ra:
   $$KH=\frac{IO}{2}\tan \mathrm{\angle }KIO=\frac{IO}{2}\tan \mathrm{\angle }KIM=\frac{IO}{2}\tan \mathrm{\angle }QIM=\frac{QI\cdot QM}{2IQ}=\frac{QH}{2}$$
   Vậy, ta có $KH=\frac{1}{2}QH$ và $KI=KH$. Điều này cho phép ta kết luận rằng các tứ giác $MQHK$ và $NIHK$ (do $NI\perp HK$) đều nội tiếp trong các đường tròn $(KIH)$ và $(QNH)$.

   b/ Ta cần chứng minh rằng tia $IM$ là tia phân giác của góc $\mathrm{\angle }QIK$. Ta có:
   $$\frac{MI}{QI}=\frac{MI}{QM}\cdot \frac{QM}{QI}=\cos \mathrm{\angle }QMI\cdot \frac{QI}{QM}=\cos \mathrm{\angle }QNI\cdot \frac{QH}{QM}$$
   Vì tam giác $QNH$ vuông tại $H$, nên:
   $$\cos \mathrm{\angle }QNI=\frac{QI}{QH}$$
   Do đó:
   $$\frac{MI}{QI}=\frac{QI}{QH}\cdot \frac{QH}{QM}=\frac{KI}{KH}\cdot \frac{QH}{QM}$$
   Từ đó suy ra:
   $$\frac{IM}{IQ}=\frac{KM}{KQ}$$
   Lại vì các tứ giác $MQHK$ và $QNIH$ đều nội tiếp trong các đường tròn $(KIH)$ và $(QNH)$, nên ta có:
   $$\mathrm{\angle }KMQ=\mathrm{\angle }KHQ=\mathrm{\angle }KHN=\mathrm{\angle }KIN$$
   Vậy, tức là tia $IM$ là tia phân giác của góc $\mathrm{\angle }QIK$.

   c/ Ta cần chứng minh rằng $\mathrm{\angle }KQE=\mathrm{\angle }KIE$. Ta có:
   $$\mathrm{\angle }KQE=\mathrm{\angle }KQH+\mathrm{\angle }HQE=\mathrm{\angle }KIM+\mathrm{\angle }QHN$$
   Như đã chứng minh ở trên, các tứ giác $MQHK$ và $NIHK$ đều nội tiếp trong các đường tròn $(KIH)$ và $(QNH)$. Vì vậy, $\mathrm{\angle }QHN=\mathrm{\angle }QKN$ và $\mathrm{\angle }KIM=\mathrm{\angle }KQM$. Từ đó suy ra:
   $$\mathrm{\angle }KQE=\mathrm{\angle }KQM+\mathrm{\angle }QKN=\mathrm{\angle }MKQ=\mathrm{\angle }KMI$$
   Lại vì $ME$ là trung tuyến của tam giác $KHN$, nên ta có $ME\parallel HN$ và $ME=\frac{1}{2}HN$. Điều này cho phép ta viết:
   $$\mathrm{\angle }KMI=\mathrm{\angle }KHE={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }HKN={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }HEN$$
   Như vậy:
   $$\mathrm{\angle }KQE=\mathrm{\angle }KMI={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }HEN$$
   Nhưng ta cũng có:
   $$\mathrm{\angle }KIE=\mathrm{\angle }KIH+\mathrm{\angle }HIE=\mathrm{\angle }KQH+\mathrm{\angle }HIN={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }HEN$$
   Do đó:
   $$\mathrm{\angle }KQE=\mathrm{\angle }KIE$$
   Điều này chứng tỏ rằng $\mathrm{△}KQE$ đồng dạng với $\mathrm{△}KIE$, từ đó ta có:
   $$\frac{QE}{IE}=\frac{KQ}{KI}=\frac{QI}{KH}=\frac{Q{I}^2}{QH\cdot QI}=\frac{Q{I}^2}{QM\cdot QH}$$
   Trên một phía, ta có:
   $$\frac{Q{I}^2}{QM\cdot QH}=\frac{QI}{QM}\cdot \frac{QI}{QH}=\cos \mathrm{\angle }QMI\cdot \frac{QI}{QH}=\cos \mathrm{\angle }QNI=\sin \mathrm{\angle }KIQ$$
   Trên phía còn lại:
   $$\frac{QE}{IE}=\frac{QH}{IH}=\sin \mathrm{\angle }KIH=\sin \mathrm{\angle }KIQ$$
   Từ đó suy ra:
   $$\frac{QE}{IE}=\sin \mathrm{\angle }KIQ$$

   Điều phải chứng minh

   Trả lời