cho nửa đường tròn tâm o đường kính MN, lấy hai điểm I và Q thuộc nửa đường tròn sao cho điểm Q thuộc cung MI. Gọi H là giao điểm MI và QN. Kẻ HK vuông góc với MN tại K. Gọi E là trung điểm của HN. chứng minh rằng.
a. Các tứ giác MQHK; NIHK nội tiếp.
b/ Tia IM là tia phân giác của góc QIK
c. Chứng minh óc KQE=góc KIE
a/ Ta có hai tam giác $IQM$ và $QHN$ đồng dạng (do có cùng hai góc vuông và đỉnh chung $Q$), từ đó suy ra:
$$\frac{QM}{IQ}=\frac{QH}{QI} \Leftrightarrow QH=\frac{QI^2}{QM}$$
Vì $K$ là trung điểm của $MN$, ta có $HK \perp MN$ và $HK=\frac{1}{2}MN$. Do đó:
$$HK=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}(OM+ON)=\frac{OI}{2}$$
Từ đó suy ra:
$$KH=\frac{IO}{2}\tan{\angle KIO}=\frac{IO}{2}\tan{\angle KIM}=\frac{IO}{2}\tan{\angle QIM}=\frac{QI\cdot QM}{2IQ}=\frac{QH}{2}$$
Vậy, ta có $KH=\frac{1}{2}QH$ và $KI=KH$. Điều này cho phép ta kết luận rằng các tứ giác $MQHK$ và $NIHK$ (do $NI \perp HK$) đều nội tiếp trong các đường tròn $(KIH)$ và $(QNH)$.
b/ Ta cần chứng minh rằng tia $IM$ là tia phân giác của góc $\angle QIK$. Ta có:
$$\frac{MI}{QI}=\frac{MI}{QM}\cdot\frac{QM}{QI}=\cos{\angle QMI}\cdot\frac{QI}{QM}=\cos{\angle QNI}\cdot\frac{QH}{QM}$$
Vì tam giác $QNH$ vuông tại $H$, nên:
$$\cos{\angle QNI}=\frac{QI}{QH}$$
Do đó:
$$\frac{MI}{QI}=\frac{QI}{QH}\cdot\frac{QH}{QM}=\frac{KI}{KH}\cdot\frac{QH}{QM}$$
Từ đó suy ra:
$$\frac{IM}{IQ}=\frac{KM}{KQ}$$
Lại vì các tứ giác $MQHK$ và $QNIH$ đều nội tiếp trong các đường tròn $(KIH)$ và $(QNH)$, nên ta có:
$$\angle KMQ=\angle KHQ=\angle KHN=\angle KIN$$
Vậy, tức là tia $IM$ là tia phân giác của góc $\angle QIK$.
c/ Ta cần chứng minh rằng $\angle KQE=\angle KIE$. Ta có:
$$\angle KQE=\angle KQH+\angle HQE=\angle KIM+\angle QHN$$
Như đã chứng minh ở trên, các tứ giác $MQHK$ và $NIHK$ đều nội tiếp trong các đường tròn $(KIH)$ và $(QNH)$. Vì vậy, $\angle QHN=\angle QKN$ và $\angle KIM=\angle KQM$. Từ đó suy ra:
$$\angle KQE=\angle KQM+\angle QKN=\angle MKQ=\angle KMI$$
Lại vì $ME$ là trung tuyến của tam giác $KHN$, nên ta có $ME\parallel HN$ và $ME=\frac{1}{2}HN$. Điều này cho phép ta viết:
$$\angle KMI=\angle KHE=180^{\circ}-\angle HKN=180^{\circ}-\angle HEN$$
Như vậy:
$$\angle KQE=\angle KMI=180^{\circ}-\angle HEN$$
Nhưng ta cũng có:
$$\angle KIE=\angle KIH+\angle HIE=\angle KQH+\angle HIN=180^{\circ}-\angle HEN$$
Do đó:
$$\angle KQE=\angle KIE$$
Điều này chứng tỏ rằng $\triangle KQE$ đồng dạng với $\triangle KIE$, từ đó ta có:
$$\frac{QE}{IE}=\frac{KQ}{KI}=\frac{QI}{KH}=\frac{QI^2}{QH\cdot QI}=\frac{QI^2}{QM\cdot QH}$$
Trên một phía, ta có:
$$\frac{QI^2}{QM\cdot QH}=\frac{QI}{QM}\cdot\frac{QI}{QH}=\cos{\angle QMI}\cdot\frac{QI}{QH}=\cos{\angle QNI}=\sin{\angle KIQ}$$
Trên phía còn lại:
$$\frac{QE}{IE}=\frac{QH}{IH}=\sin{\angle KIH}=\sin{\angle KIQ}$$
Từ đó suy ra:
$$\frac{QE}{IE}=\sin{\angle KIQ}$$