Cho phương trình: x² – 2x – 2m² = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: $x_{1}^{2}$ = 4$x_{2}$

1 bình luận về “Cho phương trình: x² – 2x – 2m² = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: $x_{1}^{2}$ = 4$x_{2}$”

1. Trả lời:

   $\rm  x^2-2x-2m^2=0$

   – Để phương trình có $\rm  2$ nghiệm phân biệt khi :

   $\rm  Δ’>0$

   <=>$\rm  1+2m^2>0(luôn \,\, đúng)$

   – Nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với $\rm  ∀m∈\mathbb{R}$

   – Cho $\rm  x_1<x_2$

    =>$\rm  x_1=1-\sqrt{1+2m^2}$ và $\rm  x_2=1+\sqrt{1+2m^2}$

   $\rm  x_1^2=4x_2$

   <=>$\rm (1-\sqrt{1+2m^2})^2=4+4\sqrt{1+2m^2}$

   <=>$\rm  1-2\sqrt{1+2m^2}+1+2m^2=4+4\sqrt{1+2m^2}$

   <=>$\rm  2+6\sqrt{1+2m^2}=2m^2$

   <=>$\rm  \sqrt{1+2m^2}=\dfrac{m^2-1}{3}$ 

   <=>$\rm  1+2m^2=\dfrac{m^4-2m^2+1}{9}$ $\rm  (m \leq -1 \,\, hoặc \,\, m \geq 1)$

   <=>$\rm  9+18m^2-m^4+2m^2-1=0$

   <=>$\rm  -m^4+20m^2+8=0$$\rm  (1)$

   – Đặt $\rm  t=m^2 \geq 0$

   $(1)$->$\rm  -t^2+20t+8=0$

   <=>$\left[\begin{matrix} t=10+6\sqrt{3}(nhận)\\ t=10-6\sqrt{3}(loại)\end{matrix}\right.$

   $\rm  \bullet$$\rm  m^2=10+6\sqrt{3}$<=>$\rm  m=±\sqrt{10+6\sqrt{3}}(thỏa)$

   – Làm tương tự cho $\rm  x_1>x_2$=> Không có giá trị m thỏa.

   Vậy khi $\rm  m=±\sqrt{10+6\sqrt{3}}$ thì phương trình đã cho thỏa đề bài.

   Trả lời