Cho pt: `x^2 -2mx +2m -3 =0 (1)` Tìm `m` để pt có 2 nghiệm `x_1 , x_2` thỏa mãn: `(1-x_1^2)(1 – x_2^2) =-4`

2 bình luận về “Cho pt: `x^2 -2mx +2m -3 =0 (1)` Tìm `m` để pt có 2 nghiệm `x_1 , x_2` thỏa mãn: `(1-x_1^2)(1 – x_2^2) =-4`”

1. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

   Ta có: \Delta’=(-m)^2-1.(2m-3)

   =m^2-2m+3

   =(m^2-2m+1)+2

   =(m-1)^2+2

   Với mọi m có: (m-1)^2\ge0

   =>(m-1)^2+2\ge2>0

   =>\Delta’>0

   =>Pt\ (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x_1,x_2 với mọi m

   Theo hệ thức Viet có: {(x_1+x_2=(-(-2m))/1=2m),(x_1x_2=(2m-3)/1=2m-3):}

   Ta có: (1-x_1^2)(1-x_2^2)=-4

   <=>1-x_2^2-x_1^2+x_1^2x_2^2=-4

   <=>1-x_1^2-2x_1x_2-x_2^2+(x_1x_2)^2+2x_1x_2=-4

   <=>1-(x_1+x_2)^2+(x_1x_2)^2+2x_1x_2=-4

   <=>1-(2m)^2+(2m-3)^2+2.(2m-3)=-4

   <=>1-4m^2+4m^2-12m+9+4m-6+4=0

   <=>8-8m=0

   <=>8m=8

   <=>m=1

   Vậy m=1 thì Pt (1) có 2 nghiệm x_1,x_2 thỏa mãn (1-x_1^2)(1 – x_2^2) =-4

   Trả lời
2. Giải đáp:

   $\rm  x^2-2mx+2m-3=0$

   $\rm  (a=1;b’=-m;c=2m-3)$

   $\rm  Δ’=b’^2-ac=m^2-2m+3$

   – Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi :

   $\rm  Δ’=m^2-2m+3>0$

   <=>$\rm  m^2-2m+1+2>0$

   <=>$\rm  (m-1)^2+2>0$ (hiển nhiên)

   Nên phương trình đã cho luôn có $\rm  2$ nghiệm phân biệt với $\rm  ∀m∈\mathbb{R}$

    – Áp dụng định lý $\rm  vi-et:$

   ->$\begin{cases} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=2m-3 \end{cases}$

   – Biểu thức : $\rm  (1-x_1^2)(1-x_2^2)=-4$

   <=>$\rm  1-x_2^2-x_1^2+(x_1x_2)^2=-4$

   <=>$\rm  1+2x_1x_2-(x_2^2+2x_1x_2+x_1^2)+(x_1x_2)^2=-4$

   <=>$\rm  1+2x_1x_2-(x_1+x_2)^2+(x_1x_2)^2=-4$

   <=>$\rm  1+2.(2m-3)-(2m)^2+(2m-3)^2=-4$

   <=>$\rm  1+4m-6-4m^2+(4m^2-12m+9)=-4$

   <=>$\rm -8m+8=0$

   <=>$\rm  m=1$

   Vậy khi $\rm  m=1$ thì phương trình đã cho thỏa điều kiện đề bài.

   Trả lời