Trang chủ » Hỏi đáp » Môn Toán Cho PT ẩn `x:` `x^2-2mx+m-1=0` Tìm `m` để PT có `2` nghiệm `x_1,x_2` sao cho `x_1^2+x_2^2` đạt GTNN 24/10/2023 Cho PT ẩn `x:` `x^2-2mx+m-1=0` Tìm `m` để PT có `2` nghiệm `x_1,x_2` sao cho `x_1^2+x_2^2` đạt GTNN
$\text{→ Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:}$ $\text{→ Ta có :}$ $\text{x² – 2mx + m – 1 = 0}$ $\text{→ Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì :}$ $\text{Δ > 0 ⇔ b² – 4ac > c ⇔ 4m² – 4( m – 1 ) > 0}$ $\text{⇔ 4m² – 4m + 4 > 0 ⇔ ( 2m – 1 )² + 3 > 0 ( luôn đúng ).}$ $\text{→ Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $\forall$ m $\in$ R.}$ $\text{→ Vi-ét : $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2m\\x_1 . x_2 = m – 1 \end{cases}$ }$ $\text{→ Ta lại có :}$ $\text{$x_1$² + $x_2$² = ( $x_1$ + $x_2$ )² – 2$x_1$ . $x_2$}$ $\text{= 4m² – 2( m – 1 ) = 4m² – 2m + 2 = ( 2m – 1 )² + 1 ≥ 1 ;( $\forall$ m ).}$ $\text{→ Dấu bằng xảy ra khi : 2m – 1 = 0 ⇔ m = $\dfrac{1}{2}$.}$ Trả lời
Để phương trình có 2 nghiệm x_1,x_2 ->\Delta’>=0 <=>m^2-m+1>=0 <=>(m-1/2)^2+3/4>0 (Luôn đúng) AD hthuc Vi-ét có: {(x_1+x_2=2m),(x_1.x_2=m-1):} Có: x_1^2+x_2^2=x_1^2+x_2^2+2x_1 x_2-2x_1 x_2 =(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2 =(2m)^2-2.(m-1) =4m^2-2m+2 =(2m)^2-m+(1)^2-(1)^2+2 =(2m-1)^2+1 =(2m-1)^2+1>=1 Vậy biểu thức đạt GTNNN =1 khi 2m-1=0->2m=1->m=1/2(TM) Trả lời
