Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O;R) có đường kính AB cắt CA, CB lần lượt tại M và N; AN cắt BM tại D. a) Chứng

1 bình luận về “Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O;R) có đường kính AB cắt CA, CB lần lượt tại M và N; AN cắt BM tại D. a) Chứng”

1. Lời giải và giải thích chi tiết:

   a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to AM\perp BM,AN\perp BN$

   $\to \widehat{DMC}=\widehat{DNC}={90}^o$

   $\to CMDN$ nội tiếp đường tròn đường kính $CD$

   $\to$Tâm $T$ của đường tròn là trung điểm $CD$

   b.Vì $BM\perp AC,AN\perp BC,BM\cap AN=D\to D$ là trực tâm $\mathrm{\Delta }ABC$

   $\to CD\perp AB=E$

   Xét $\mathrm{\Delta }DAE,\mathrm{\Delta }DNC$ có:

   $\widehat{DEA}=\widehat{DNC}(={90}^o)$

   $\widehat{ADE}=\widehat{NDC}$

   $\to \mathrm{\Delta }DAE\sim \mathrm{\Delta }DCN(g.g)$

   $\to {\displaystyle \frac{DA}{DC}}={\displaystyle \frac{DE}{DN}}$
   $\to DA\cdot DN=DE\cdot DC$

   c.Ta có:

   $\widehat{ONA}=\widehat{OAN}=\widehat{EAD}={90}^o-\widehat{ADE}={90}^o-\widehat{NDC}=\widehat{DCN}=\widehat{TCN}=\widehat{TNC}$

   $\to \widehat{ONT}=\widehat{ONA}+\widehat{DNT}=\widehat{TNC}+\widehat{TND}=\widehat{DNC}={90}^o$

   $\to NO\perp NT$

   $\to NO$ là tiếp tuyến của $(T)$

   

   Trả lời