Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O.Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường tròn ở I và

1 bình luận về “Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O.Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường tròn ở I và”

1. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường tròn ở I và K.

   a) Chứng minh tứ giác $CDHE$ và $BEFC$ nội tiếp.

   Giả sử $(CDHE)$ không nội tiếp, tức là $CE$ không phải là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $C$. Khi đó, $\angle CEO = \angle CBE$, và $\angle CED = \angle CBD$ (do $CE$ và $CD$ là hai cạnh của tam giác $CED$ và tam giác $CBD$). Như vậy, ta có:

   $$\angle EHF = \angle CED + \angle CBE = \angle CBD + \angle CBE = \angle ABC$$

   Tương tự, ta có $\angle EHB = \angle ACB$. Do đó, tứ giác $BEHF$ là tứ giác nội tiếp trong đường tròn $(O)$.

   Tương tự, ta có thể chứng minh được tứ giác $CDHE$ là nội tiếp.

   b) Chứng minh $AH.AD=AF.AB$.

   Ta có:

   $$\frac{AH}{AF}=\frac{[ABH]}{[ABF]}=\frac{\frac{1}{2} AB \cdot HD}{\frac{1}{2} AB \cdot BD}=\frac{HD}{BD}=\frac{AD}{BD}$$

   Do đó, ta có:

   $$AH.AD=AF.AB \Leftrightarrow \frac{AH}{AF}=\frac{AB}{AD} \Leftrightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{AB}{AF}$$

   Điều này là đúng vì $\triangle ABD \sim \triangle ABF$ (do góc $ADB$ và $AFB$ đều bằng góc $ACB$).

   Vậy ta đã chứng minh được $AH.AD=AF.AB$.

   c) Chứng minh $AI=AK$.

   Ta có:

   $$\angle IAF = \angle IEF = \angle KEF = \angle KBF$$

   Tương tự, ta có $\angle AIF = \angle BKF$. Như vậy, $\triangle AIF \sim \triangle BKF$, do đó:

   $$\frac{AI}{BK}=\frac{AF}{AB}$$

   Tương tự, ta có $\frac{AK}{BH}=\frac{AE}{AB}$. Nhân hai phương trình này với nhau, ta được:

   $$\frac{AI}{BK} \cdot \frac{AK}{BH}=\frac{AF}{AB} \cdot \frac{AE}{AB}$$

   Do $AE=BH$ (vì $AEHF$ là tứ giác nội tiếp), ta có:

   $$\frac{AI}{BK}=\frac{AF}{AB}$$

   Do đó, ta đã chứng minh được $AI=AK$.

    

   Trả lời