Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, có AB^2=BH.BC. Lấy điểm E tùy ý trên cạnh AB (B khác AB), vẽ điểm F trên cạnh AC sao cho góc FHE bằng 90 độ, có tam giác BEH đồng dạng tam giác AFH.
a) Chúng minh góc BAH = góc EFH
b) Xác định vị trí của điểm E trên AB sao cho diện tích tam giác HEF đạt giá trị nhỏ nhất
Gọi I là giao điểm của BF và HE.
Khi đó, ta có:
– Góc BHI = Góc FHI (do BEH đồng dạng với AFH)
– Góc BHE = Góc FHI (do góc FHE bằng 90 độ)
Vậy tam giác BHI đồng dạng với tam giác FHI.
Do đó, ta có:
– Góc BAH = Góc HBI (do tam giác ABH vuông tại A)
– Góc HBI = Góc FHI (do tam giác BHI đồng dạng với tam giác FHI)
Vậy góc BAH = góc EFH.
b) Để diện tích tam giác HEF đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần chọn điểm E sao cho chiều cao HE của tam giác BEH bằng với chiều cao HF của tam giác AFH.
Gọi h là chiều cao của tam giác ABC từ đỉnh A.
Ta có:
– AB^2 = BH.BC
<=> h^2 – BH^2 = BH.(h – BC)
<=> h^2 – BH^2 = h.BH – BH.BC
<=> h^2 – h.BH = BH.(BC – BH)
<=> h.(h – BH) = BH.(BC – BH)
<=> h/BC = BH/(h – BH)
– Ta có:
HF/AC = HE/AB
<=> HF/(h – BC) = HE/h
<=> HF/h + HE/h = 1
<=> HF + HE = h
Từ hai công thức trên, ta suy ra:
HF/AC = BH/(h – BH)
<=> HF/BC + HF/BH = 1
<=> HF/BH = 1 – HF/BC
<=> HF/BH = BC/(BC + BH)
Do đó, để diện tích tam giác HEF đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần chọn điểm E sao cho:
HE/HF = BH/BC
<=> HE/(h – HF) = BH/BC
<=> HE/h + HF/h = BH/BC + 1
<=> h/(h – BC) + HF/h = BH/BC + 1
<=> h/(h – BC) + (h – HE)/h = AB/AC
Thay AB^2 = BH.BC vào công thức trên, ta được:
h/(h – AB^2/h) + (h – HE)/h = AB/AC
<=> AC.h/(AC – AB^2/h) + (AC.h – AB^2.HE)/h.AC = AB.AC/h
<=> AC.h^2 – AB^2.HE.AC + AC.AB^2 = AC.(AC – AB^2/h).h
<=> AC.AB^2/h^2 .HE^2 – (AB^4 + AC^4)/h + AC.AB^2=0
Đây là một phương trình bậc hai với biến số là HE. Giải phương trình này để tìm được giá trị của HE và sau đó tính được vị trí của điểm E trên cạnh AB sao cho diện tích tam giác HEF đạt giá trị nhỏ nhất.