cho x,y không âm thỏa mãn xy= căn 10 tìm Pmin = ($x{4}$1)($y{4}$1)

Question

cho x,y không âm thỏa mãn x+y= căn 10  tìm Pmin =  ($x^{4}$+1)($y^{4}$+1)

dongoclandiem · Answer

Giải đáp:

Lời giải và giải thích chi tiết:
Ta có

$ x^{4} + y^{4} = (x² + y²)² – 2x²y²$

$ = [(x + y)² – 2xy]² – 2x²y²$

$ = [10 – 2xy]² – 2x²y²$

$ = 100 – 40xy + 2x²y²$

$ ⇒ P = (x^{4} + 1)(y^{4} + 1)$

$ = x^{4}y^{4} + x^{4} + y^{4} + 1$

$ = x^{4}y^{4} + 2x²y² – 40xy + 101$

$ = x^{4}y^{4} – 8x²y² + 16 + 10(x²y² – 4xy + 4) + 45$

$ = (x²y² – 4)² + 10(xy – 2)² + 45 $

$ = (xy – 2)²[(xy + 2)² + 10] + 45 ≥ 45$

$ ⇒ MinP = 45 ⇔ xy – 2 = 0 ; x + y = \sqrt{10}$

$ ⇔ x = \dfrac{\sqrt{10} – \sqrt{2}}{2}; y = \dfrac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$
Hoặc :

$ x = \dfrac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}; y = \dfrac{\sqrt{10} – \sqrt{2}}{2}$

cho x,y không âm thỏa mãn x+y= căn 10 tìm Pmin = ($x^{4}$+1)($y^{4}$+1)