Cho `x`, `y`, `z` thỏa mãn `x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1`. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: `\bb \text{P} = |x + 2y + 3z|`.

1 bình luận về “Cho `x`, `y`, `z` thỏa mãn `x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1`. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: `\bb \text{P} = |x + 2y + 3z|`.”

1. Giải đáp:

   Max_P = \sqrt{14}

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   P = |x + 2y + 3z|  

   <=> P^2 = (x + 2y + 3z)^2

   Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:

   (x + 2y + 3z)^2 <= (x^2 + y^2 + z^2)(1^2 + 2^2 + 3^2) = 14

   <=> 0 <= |x + 2y + 3z| <= \sqrt{14}

   <=> 0 <= P <= \sqrt{14}

   Dấu “=” của $Max$ xảy ra khi: $\begin{cases}\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\end{cases}$

   <=> $\begin{cases}x=\dfrac{\sqrt[]{14}}{14};y=\dfrac{2\sqrt[]{14}}{14};z=\dfrac{3\sqrt[]{14}}{14}\\x=-\dfrac{\sqrt[]{14}}{14};y=-\dfrac{2\sqrt[]{14}}{14};z=-\dfrac{3\sqrt[]{14}}{14}\end{cases}$

   Vậy Max_P = \sqrt{14} khi: (x;y;z) = (\frac{\sqrt{14}}{14};\frac{2\sqrt{14}}{14};\frac{3\sqrt{14}}{14}),(-\frac{\sqrt{14}}{14};-\frac{2\sqrt{14}}{14};-\frac{3\sqrt{14}}{14})

   Trả lời