Chứng minh bất đẳng thức `x^2+y^2+z^2>=(x+y+z)^2/3`

1 bình luận về “Chứng minh bất đẳng thức `x^2+y^2+z^2>=(x+y+z)^2/3`”

1. Giải đáp: Lời giải và giải thích chi tiết:

   Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trên 3 số $1$, $1$, và $1$, ta có:

   $$(1+1+1)(x^2+y^2+z^2) \geq (x+y+z)^2$$

   Từ đó suy ra:

   $$3(x^2+y^2+z^2) \geq (x+y+z)^2$$

   Vì $(x+y+z)^2$ luôn không nhỏ hơn $0$, nên ta có thể chia cả 2 vế bởi $3(x^2+y^2+z^2)$ và được:

   $$1 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2)}$$

   Do đó, ta có:

   $$\frac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2)} \leq 1$$

   Tương đương với:

   $$(x+y+z)^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2)$$

   Hay:

   $$x^2+y^2+z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$$

   Vậy, chúng ta đã chứng minh được bất đẳng thức:

   $$x^2+y^2+z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$$

   đúng với mọi số thực $x, y, z$.

   Trả lời