CMR : `2(a + b + c)^3 + 9abc >= 7(a + b + c)(ab + bc + ca) AA a,b,c >= 0`

1 bình luận về “CMR : `2(a + b + c)^3 + 9abc >= 7(a + b + c)(ab + bc + ca) AA a,b,c >= 0`”

1. Đặt: $A=2(a+b+c{)}^3+9abc$

   $=(a+b+c{)}^3+9abc+(a+b+c{)}^3$

   Ta có: $(a+b+c{)}^3+9abc$

   $=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(a+c)+9abc$

   $\ge a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+3abc+3((a+b)(b+c)(a+c)+abc)$(Schur)

   $$\begin{gathered} \ge (a+b+c)(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ac)(a+b+c) \\ \ge 4(a+b+c)(ab+bc+ac) \end{gathered}$$

   Ta chứng minh: $(a+b+c{)}^3\ge 3(a+b+c)(ab+bc+ac)$

   $\iff (a+b+c{)}^2\ge 3(ab+bc+ac)(\ast )$

   Ta có: $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac$(Cauchy cho $a^2+b^2\ge 2ab$ và tương tự với các số còn lại)

   $\iff (a+b+c{)}^2\ge 3(ab+bc+ac)\Rightarrow (\ast )$ đúng.

   Hay ta có đpcm.

   Dấu “=” có khi: $a=b=c$

    

   Trả lời