Giải hệ: $\begin{cases} x^3=3y^2-3y+1\\y^3=3z^2-3z+1\\z^3=3x^2-3x+1 \end{cases}$ Em muốn giải hệ này theo cách xét hàm ở c3,

1 bình luận về “Giải hệ: $\begin{cases} x^3=3y^2-3y+1\\y^3=3z^2-3z+1\\z^3=3x^2-3x+1 \end{cases}$ Em muốn giải hệ này theo cách xét hàm ở c3,”

1. $\begin{cases} x^{3} = 3y^{2} – 3y + 1 \text{ (1)}\\y^{3} = 3z^{2} – 3z + 1 \text{ (2)}\\z^{3} = 3x^{2} – 3x + 1 \text{ (3)} \end{cases}$ $\\$ $ 3y^{2} – 3y + 1 > \text{0,25} \forall y \in \mathbb{R} \Rightarrow x^{3} > \text{0,25} \Rightarrow x > \text{0,5} \\$ $\text{Tương tự ta có:}$ $x, y, z > \text{0,5}$ $\\$ $\text{(1) – (2)}$ $\Rightarrow x^{3} – y^{3} = 3(y^{2} – z^{2}) – 3(y – z)\\ \Leftrightarrow (x – y)(x^{2} + xy + y^{2}) = 3(y – z)(y + z) – 3(y – z)\\ \Leftrightarrow (x – y)(x^{2} + xy + y^{2}) = 3(y – z)(y + z – 1) \text{ (4)}\\ \text{Do } x, y, z > \text{0,5} \Rightarrow $\begin{cases} x^{2} + xy + y^{2} > 0\\y + z – 1 > 0 \end{cases}$\\ \text{Từ (4) ta có: } \text{Nếu } x – y \ge 0 \text{ thì } y – z \ge 0 \text{ hay nếu } x \ge y \text{ thì } y \ge z \Rightarrow x \ge z \text{ (5)}\\ \text{Chứng minh tương tự, với (2), (3) và } y \ge z \text{ ta suy ra } z \ge x \text{ (6)}\\ \text{Từ (5) và (6)} \Rightarrow x = y = z\\ \text{Hệ đã cho trở thành: } x^{3} = 3x^{2} – 3x + 1\\ \Leftrightarrow x^{3} – 3x^{2} + 3x – 1 = 0\\ \Rightarrow x = 1\\ \text{Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất } (x; y; z) = (1; 1; 1) $

   Trả lời