Giải pt: lim F(x) = limx^2 f^x2f(t)dt x-2 x^2-4 = f( )

1 bình luận về “Giải pt: lim F(x) = limx^2 f^x2f(t)dt x-2 x^2-4 = f( )”

1. Để giải phương trình này, ta cần sử dụng định nghĩa của phép tính giới hạn và áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm tích để tính đạo hàm của hàm trong dấu tích phân.

   Theo định nghĩa của phép tính giới hạn, ta có:

   lim(x → 2) F(x) = lim(x → 2) [(x^2 f(x))/(x^2 – 4)]

   Ta thấy rằng trong mẫu số của tỉ số này, ta có thể sử dụng khai triển nhị thức để biến đổi như sau:

   x^2 – 4 = (x + 2)(x – 2)

   Vậy, ta có thể viết lại tỉ số trong phép tính giới hạn như sau:

   lim(x → 2) F(x) = lim(x → 2) [(x^2 f(x))/((x + 2)(x – 2))]

   = lim(x → 2) [x f(x)/(x + 2)]

   = lim(x → 2) [(x + 2 – 2) f(x)/(x + 2)]

   = lim(x → 2) [f(x) – 2f(x)/(x + 2)]

   Chúng ta cần tính giá trị này để tìm giới hạn của F(x) khi x tiến đến 2.

   Ta biết rằng:

   lim(x → 2) [f(x)] = f(2)

   Vì vậy, ta có thể viết lại phương trình trên như sau:

   lim(x → 2) F(x) = f(2) – 2 lim(x → 2) [f(x)/(x + 2)]

   Để tính giới hạn còn lại, ta sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm tích như sau:

   (fg)’ = f’g + fg’

   Áp dụng công thức này với hàm trong dấu tích phân, ta có:

   d/dx (x^2f(x)) = 2xf(x) + x^2f'(x)

   Vậy, ta có thể viết lại phương trình trên như sau:

   lim(x → 2) F(x) = f(2) – 2 lim(x → 2) [(1/x) d/dt (t^2f(t))] (t=x+2)

   = f(2) – 2 lim(x → 2) [(1/x) (2t f(t) + t^2 f'(t))] (t=x+2)

   = f(2) – 4f(2) – 4 lim(x → 2) [(f'(t)/t)] (t=x+2)

   = -3f(2) – 4 lim(x → 2) [(f'(t)/t)] (t=x+2)

   Chúng ta không thể tính chính xác giá trị của giới hạn cuối cùng trên bằng phép tính đơn giản. Tuy nhiên, nếu f(t) liên tục và khả vi tại x = 2

   Khi đó, ta có thể sử dụng định lý trung gian để tìm một giá trị cận trên cho giới hạn cuối cùng. Để làm điều này, ta sẽ giới hạn giá trị của f'(t)/t trong một khoảng nhỏ xung quanh x = 2 bằng cách chọn ε > 0 sao cho |t – 2| < ε thì |f'(t)/t – L| < 1/4, với L là giá trị giới hạn của tỉ số này khi t tiến đến 2.

   Vì f(t) liên tục và khả vi tại x = 2, nên f'(t) cũng liên tục tại x = 2. Vì vậy, ta có thể chọn ε đủ nhỏ sao cho:

   |f'(t)/t – f'(2)/2| < 1/4

   Điều này có nghĩa là:

   -1/4 < f'(t)/t – f'(2)/2 < 1/4

   Khi đó, ta có thể viết:

   -1/4 < f'(t)/t < 1/4 + f'(2)/2

   Vì vậy, ta có thể giới hạn giá trị của giới hạn cuối cùng như sau:

   -4f'(2) – 3f(2) < lim(x → 2) F(x) < -4f'(2) – f(2)

   Do đó, giới hạn của F(x) khi x tiến đến 2 là f(2). Chú ý rằng điều này chỉ đúng nếu f(t) liên tục và khả vi tại x = 2.

    

   Trả lời