Cho phương trình x2-(2m+1)x+m=0
Tìm m để biểu thức A=x12+x22-4x1x2+2đạt giá trị nhỏ nhất?
-
x² – ( 2m +1). x + m = 0a = 1; b= – (2m + 1) ; c = mΔ = b² – 4ac = [- ( 2m +1) ]² – 4. 1. m= ( 2m + 1)² – 4m= 4m² + 4m + 1 – 4m= 4m² + 1 > 0 với mọi mVậy pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi mTheo hệ thức Vi-ét:x1 + x2 = -b/a = 2m + 1x1 . x2 = c/a = mTheo đề, ta có:A = x1² + x2² – 4.x1. x2 + 2= x1² + 2.x1.x2 + x2² – 6.x1.x2 +2= ( x1 + x2)² – 6.x1.x2 +2= ( 2m + 1)² – 6m + 2= 4m² + 4m + 1 – 6m + 2= 4m² – 2m + 3= 3m² + m² – 2. m . 1 + 1² + 2= 3m² + ( m – 1)² + 2Ta có: m²≥ 0 ∀ m⇔ 3m² ≥ 0 ∀ mMà ( m – 1)² ≥ 0 ∀ m⇒ 3m² + ( m – 1)² ≥ 0 ∀ m⇔ 3m² + ( m – 1)² + 2 ≥ 2 ∀ m⇔ A ≥ 2 ∀ mVậy GTNN của A là 2Đạt được khi3m² + ( m – 1)² = 0⇒ 3m² + m² – 2m + 1 = 0⇔ 4m² – 2m + 1 = 0Δ’ = b’² – ac = (-1)² – 4. 1 = -3 < 0⇒ pt vô nghiệm