tìm các số `x; y; z` nguyên dương thỏa mãn `2020x^3 + 2023y^3 – 4043z^3 = 0` và `x + y+ z` là số nguyên tố

1 bình luận về “tìm các số `x; y; z` nguyên dương thỏa mãn `2020x^3 + 2023y^3 – 4043z^3 = 0` và `x + y+ z` là số nguyên tố”

1. Ta có bổ đề với $a\in Z$ thì $a^3\equiv a(\mathrm{mod}3)$

   Thật vậy: $a^3-a=a(a-1)(a+1)⋮3$(Tích 3 số nguyên liên tiếp.)

   Do đó bổ đề được chứng minh.

   Áp dụng ta được: $x^3\equiv x(\mathrm{mod}3),y^3\equiv y(\mathrm{mod}3),z^3\equiv z(\mathrm{mod}3)$

   Ta có:

   $\bullet$ $2020x^3\equiv 1.x\equiv x(\mathrm{mod}3)$

   $\bullet$ $2023y^3\equiv 1.y\equiv y(\mathrm{mod}3)$

   $\bullet$ $-4043z^3\equiv 1.z\equiv z(\mathrm{mod}3)$

   $$\begin{gathered} \Rightarrow 0\equiv x+y+z(\mathrm{mod}3) \\ \Rightarrow 3|x+y+z \end{gathered}$$

   Mà $x+y+z$ nguyên tố $\Rightarrow x+y+z=3$

   Do $x,y,z\in N^{\ast }$ nên $x,y,z\ge 1\Rightarrow x+y+z\ge 3$

   Dấu “=” có khi: $x=y=z=1$(Thỏa mãn.)

             

    

   Trả lời