2 x y 2 + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + x y ⇔ ( 2 x y^ 2 − 2 y ^2 ) + ( y − x y ) + ( x − x ^2 ) + 1 = 0 ⇔ 2 y^ 2 ( x − 1 ) − y ( x − 1 ) − x ( x − 1 ) + 1 = 0 ⇔ ( x − 1 ) ( 2 y ^2 − y − x ) = − 1 Vì x , y ∈ Z nên x − 1 ∈ Ư ( − 1 ) = { 1 ; − 1 } TH1: {(x-1=1),(2y^2−y−x=−1):} <=>{(x=2),(2y^2−y−2=−1):} <=>{(x=2),(2y^2−y+1=0)Vô nghiệm:} TH2: {(x-1=-1),(2y^2−y−x=1):} <=>{(x=0),(2y^2−y-1=0):} $\begin{cases} x=0\\\left[\begin{matrix} y=1(tm)\\ y=-1/2(ktm)\end{matrix}\right. \end{cases}$ Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là (x;y)=(0;1)
⇔ ( 2 x y^ 2 − 2 y ^2 ) + ( y − x y ) + ( x − x ^2 ) + 1 = 0
⇔ 2 y^ 2 ( x − 1 ) − y ( x − 1 ) − x ( x − 1 ) + 1 = 0
⇔ ( x − 1 ) ( 2 y ^2 − y − x ) = − 1
Vì x , y ∈ Z nên x − 1 ∈ Ư ( − 1 ) = { 1 ; − 1 }
TH1:
{(x-1=1),(2y^2−y−x=−1):}
<=>{(x=2),(2y^2−y−2=−1):}
<=>{(x=2),(2y^2−y+1=0)Vô nghiệm:}
TH2:
{(x-1=-1),(2y^2−y−x=1):}
<=>{(x=0),(2y^2−y-1=0):}
$\begin{cases} x=0\\\left[\begin{matrix} y=1(tm)\\ y=-1/2(ktm)\end{matrix}\right. \end{cases}$
Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là (x;y)=(0;1)