Tìm nghiệm nguyên của pt: `x^2-2x+y^2+4y=20`

2 bình luận về “Tìm nghiệm nguyên của pt: `x^2-2x+y^2+4y=20`”

1. x^2-2x+y^2+4y=20

   <=> x^2-2x+y^2+4y-20=0

   \Delta=4-4(y^2+4y-20)=-4y^2-16y+48

   Phương trình có nghiệm <=> \Delta >= 0

   <=> -4y^2-16y+48 >= 0

   <=> -6 <= y <= 2

   Mà y in ZZ => y in {-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2}

   Ta có:

   y=-6 => x in {-2;4}

   y=-5 => x in {-3;5}

   y=-4 => x in \emptyset (Không tồn tại x in ZZ thỏa mãn)

   y=-3 => x in \emptyset (Không tồn tại x in ZZ thỏa mãn)

   y=-2 => x in {-4;6}

   y=-1 => x in \emptyset (Không tồn tại x in ZZ thỏa mãn)

   y = 0 => x in \emptyset (Không tồn tại x in ZZ thỏa mãn)

   y=1 => x in {-3;5}

   y=2 => x in {-2;4}

   Vậy các nghiệm nguyên (x;y) của phương trình trên là S={(4;-6);(-2;-6);(5;-5);(-3;-5);(6;-2);(-4;-2);(5;1);(-3;1);(4;2);(-2;2)}

   $\\$

   \bb\color{#3a34eb}{\text{@hoanganhnguyen09302}}

   Trả lời
2. x^2 -2x+y^2 +4y=20

   <=>x^2 -2x+1+y^2 +4y+4=20+1+4

   <=>(x-1)^2 +(y+2)^2 =25(1)

   Ta có:

   (x-1)^2 +(y+2)^2 =25 >= (x-1)^2

   Mà (x-1)^2 là số chính phương => (x-1)^2 in {0;1;4;9;16;25}

   TH1: (x-1)^2 =0 <=>x-1=0<=>x=1

   Thay (x-1)^2 =0 vào (1) ta có:

   0+(y+2)^2=25

   <=>(y+2)^2 =25

   <=>\(\left[ \begin{array}{l}y+2=5\\y+2=-5\end{array} \right.\) 

   <=>\(\left[ \begin{array}{l}y=3\\y=-7\end{array} \right.\) 

   TH2: (x-1)^2 =1<=>\(\left[ \begin{array}{l}x-1=1\\x-1=-1\end{array} \right.\)  <=>\(\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=0\end{array} \right.\)

   Thay (x-1)^2 =1 vào (1) ta có:

   1+(y+2)^2=25

   <=>(y+2)^2 =24 (vô lí)

   TH3: (x-1)^2 =4<=>\(\left[ \begin{array}{l}x-1=2\\x-1=-2\end{array} \right.\)  <=>\(\left[ \begin{array}{l}x=3\\x=-1\end{array} \right.\)

   Thay (x-1)^2 =4 vào (1) ta có:

   4+(y+2)^2=25

   <=>(y+2)^2 =21 (vô lí)

   TH4: (x-1)^2 =9<=>\(\left[ \begin{array}{l}x-1=3\\x-1=-3\end{array} \right.\)  <=>\(\left[ \begin{array}{l}x=4\\x=-2\end{array} \right.\)

   Thay (x-1)^2 =9 vào (1) ta có:

   9+(y+2)^2=25

   <=>(y+2)^2 =16 

   <=>\(\left[ \begin{array}{l}y+2=4\\y+2=-4\end{array} \right.\) 

   <=>\(\left[ \begin{array}{l}y=2\\y=-6\end{array} \right.\) 

   TH5: (x-1)^2 =16<=>\(\left[ \begin{array}{l}x-1=4\\x-1=-4\end{array} \right.\)  <=>\(\left[ \begin{array}{l}x=5\\x=-3\end{array} \right.\)

   Thay (x-1)^2 =16 vào (1) ta có:

   16+(y+2)^2=25

   <=>(y+2)^2 =9 

   <=>\(\left[ \begin{array}{l}y+2=3\\y+2=-3\end{array} \right.\) 

   <=>\(\left[ \begin{array}{l}y=1\\y=-5\end{array} \right.\) 

   TH6: (x-1)^2 =25<=>\(\left[ \begin{array}{l}x-1=5\\x-1=-5\end{array} \right.\)  <=>\(\left[ \begin{array}{l}x=6\\x=-4\end{array} \right.\)

   Thay (x-1)^2 =25 vào (1) ta có:

   25+(y+2)^2=25

   <=>(y+2)^2 =0 

   <=>y+2=0

   <=>y=-2

   Vậy (x,y) in {(1;3);(1;-7);(4;2);(4;-6);(-2;2);(-2;-6);(5;1);(5;-5);(-3;1);(-3;-5);(6;-2);(6;-2)}

   Trả lời