tìm p ng tố để 4p^2 + 1 và 6p^2 + a là số ng tố

2 bình luận về “tìm p ng tố để 4p^2 + 1 và 6p^2 + a là số ng tố”

1. Xét p = 2

   ⇒ 6p^2 + 1 = 25 (ko phải số ng tố)

   ⇒ loại

   Xét p = 3

   ⇒ 6p^2 + 1 = 55 (ko phải số ng tố)

   ⇒ loại

   Xét p = 5

   ⇒ 4p^2 + 1 = 101 (là số ng tố)

       6p^2 + 1 = 151 (là số ng tố)

   ⇒ Thỏa mãn

   Xét p > 5

   ⇒ $[\begin{array}{l}p=5k\pm 1\\ p=5k\pm 2\end{array}$

   +) p = 5k ± 1

   ⇒ 4p^2 + 1

   = 4(5k ± 1)^2 + 1

   = 100k^2 ± 40k + 5

   = 5(20k^2 ± 8k + 1) $⋮$ 5

   ⇒ là hợp số

   ⇒ loại

   +) p = 5k ± 2

   ⇒ 6p^2 + 1

   = 6(5k ± 2)^2 + 1

   = 6(25k^2 ± 20k + 4) + 1

   = 150k^2 ± 120k + 25

   = 5(30k^2 ± 24k + 5) $⋮$ 5

   ⇒ là hợp số

   ⇒ loại

   Vậy p = 5 là số cần tìm

    

   Trả lời
2. $$

   Tìm $p$ nguyên tố để $4p^2+1$ và $6p^2+1$ là số nguyên tố.

   Với p=2

   =>6p^2+1=6.4+1=25 là hợp số. (Loại)

   Với p=3

   =>6p^2+1=55 là hợp số. (Loại)

   Với p=5 (Thỏa mãn)

   Với p>5

   => $p^2\equiv 1,4(\mathrm{mod}5)$

   $\bullet$ $p^2\equiv 1(\mathrm{mod}5)$

   $\Rightarrow 4p^2+1\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ mà $4p^2+1>5$

   $\Rightarrow 4p^2+1$ là hợp số. (Loại)

   $\bullet$ $p^2\equiv 4(\mathrm{mod}5)$

   $\Rightarrow 6p^2+1\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ mà $6p^2+1>5$

   $\Rightarrow 4p^2+1$ là hợp số. (Loại)

   Vậy $p=5$

    

   Trả lời