Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: `A=x^2+y^2+z^2-yz-4x-3y+2027`

1 bình luận về “Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: `A=x^2+y^2+z^2-yz-4x-3y+2027`”

1. Giải đáp:

   $min_A=2020 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=2 \\y=2\\ z=1\end{array} \right. .$

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   $A=x^2+y^2+z^2-yz-4x-3y+2027\\ =x^2-4x+4+y^2+z^2-yz-3y+2023\\ =(x-2)^2+y^2-yz+z^2-3y+2023\\ =(x-2)^2+y^2-yz+\dfrac{z^2}{4}+\dfrac{3z^2}{4}-3y+2023\\ =(x-2)^2+\left(y-\dfrac{z}{2} \right)^2+\dfrac{3z^2}{4}-3y+2023\\ =(x-2)^2+\left(y-\dfrac{z}{2} \right)^2-3y+\dfrac{3z}{2}+\dfrac{3z^2}{4}-\dfrac{3z}{2}+2023\\ =(x-2)^2+\left(y-\dfrac{z}{2} \right)^2-3\left(y-\dfrac{z}{2}\right)+\dfrac{3z^2}{4}-\dfrac{3z}{2}+2023\\ =(x-2)^2+\left(y-\dfrac{z}{2} \right)^2-3\left(y-\dfrac{z}{2}\right)+\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}(z^2-2z+1)+2020\\ =(x-2)^2+\left(y-\dfrac{z}{2}-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}(z-1)^2+2020 \ge 2020 \ \forall \ x,y,z$

   Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x-2=0 \\y-\dfrac{z}{2}-\dfrac{3}{2}=0\\ z-1=0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=2 \\y=2\\ z=1\end{array} \right. $

   Vậy $min_A=2020 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=2 \\y=2\\ z=1\end{array} \right. .$

   Trả lời