Ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác ABE cân đỉnh E có góc đáy $15^o$.Chứng minh rằng tam giác CDE đều Gia

2 bình luận về “Ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác ABE cân đỉnh E có góc đáy $15^o$.Chứng minh rằng tam giác CDE đều Gia”

1. Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:

   Cách 1:

   Dựng ΔIEB đều,I nằm trong ΔCEB:

   $\widehat{IBC}$=$90^o$ – ($\widehat{ABE}$+ $\widehat{EBI}$) = $15^o$

   Xét ΔEBA và ΔIBC có: EB=IB (vì ΔIEB đều)

   $\widehat{ABE}$=$\widehat{ICB}$(=$15^o$) ,AB=BC (vì ABCD là hình vuông)

   ⇒ ΔIEB=ΔCEB (c.g.c)

   ⇒ $\widehat{EAB}$=$\widehat{ICB}$ mà $\widehat{EAB}$= $15^o$(gt) nên $\widehat{ICB}$=$15^o$

   ΔIBC cân đỉnh I (vì $\widehat{IBC}$=$\widehat{ICB}$=$15^o$)

   nên $\widehat{BIC}$=$180^o$ – 2.$15^o$ =$150^o$.Do đó $\widehat{EIC}$=$360^o$ – ($\widehat{EIB}$+$\widehat{BIC}$)= $150^o$

   Xét ΔEIC và ΔBIC có:

   IE=IB

   $\widehat{EIC}$+$\widehat{BIC}$=$150^o$

    CI là cạnh chung

    Dó đó ΔEIC=ΔBIC(c.g.c)

   ⇒EC=BC

   $\widehat{ECI}$=$\widehat{ICB}$

   Nên $\widehat{ECB}$=$\widehat{ECI}$+$\widehat{ICB}$= $15^o$+$15^o$=$30^o$

   Do đó ΔCDE cân có $\widehat{DCE}$=$90^o$-$\widehat{ECB}$=$60^o$

    Vậy ΔCDE đều

   ảnh 1

   ————————–

   Cách 2:

   Ở phía ngoài hình vuông ABCD dựng ΔABH đều

   Ta có $\widehat{HBE}$=$\widehat{HBA}$+$\widehat{ABE}$=$75^o$ ;$\widehat{EBC}$=$\widehat{ABC}$-$\widehat{ABE}$=$75^o$

   Xét ΔHBE và ΔCBE có: HB=BC(=AB)

   $\widehat{HBE}$=$\widehat{EBC}$(=$75^o$)

   BE là cạnh chung

   Nên $\widehat{BHE}$=$\widehat{BCE}$

   ⇒ ΔHBE=ΔCBE (c.g.c)

   Mặt khác EH là đường trung trực của AB

   Nên $\widehat{BHE}$=$30^o$ do đó $\widehat{BCE}$=$30^o$, $\widehat{ECD}$=$\widehat{BCD}$-$\widehat{BCE}$= $60^o$

   ⇒ ΔCDE đều

   ảnh 2

   

   Trả lời
2. CÁCH 1:

   vẽ tam giác đều ADK(K và B cùng phía với AD)

   =>ˆDAKDAK^=6060=>ˆKABKAB^=9090-60=3060=30.

   ΔABKΔABK cân tại A=>ˆABK=75ABK^=75=>KBC=9075=159075=15

   tương tự 

   ΔDKCΔDKCcân tại D=>ˆDKC=180302=75DKC^=180302=75=>ˆKCB=15KCB^=15

   có ΔAEB=ΔBKCΔAEB=ΔBKC(g.c.g)=>AE=BK=KCΔADE=ΔKDCΔADE=ΔKDC(c.g.c)

   =>DE=DC(1), ˆADE=ˆKDC=30ADE^=KDC^=30=>ˆEDC=60EDC^=60 (2)

   (1),(2)ΔEDC đều

   CÁCH 2

    Dựng tam giác đều DME (M trong tam giác ADE)

   MDA=15ΔADM=ΔCDE(c.g.c)AM=CE=DE=DMˆMAD=15ˆAMD=150ˆAME=150ΔAMD=ΔAME(c.g.c)AE=AD=ABMDA^=15ΔADM=ΔCDE(c.g.c)AM=CE=DE=DMMAD^=15AMD^=150AME^=150ΔAMD=ΔAME(c.g.c)AE=AD=AB

   Tính được ˆBAE=60BAE^=60 tam giác ABE là tam giác đều

   ​CÁCH 3

   :-Lấy E’ trong hình vuông ABCD sao cho tam giác DCE’ đều.

   -Ta có: DE’=DA và góc ADE’= 30 độ.

   => góc DAE’= 75 độ. Và có góc DAB=90 độ.

   => góc BAE’= 15 độ.

   -Chứng minh tương tự, ta có góc ABE’=15 độ.

   Suy ra điểm E trùng với E’.

    Vậy tam giác DEC đều

   

   Trả lời