Tứ giác nội tiếp là gì? Cách chứng minh và dấu hiệu nhận biết cực dễ

Tứ giác nội tiếp là một phần rất quan trọng được ứng dụng nhiều trong các bài toán hình học phẳng. Hãy tham khảo lý thuyết tứ giác nội tiếp cùng một số dạng bài thường gặp và hướng dẫn cách chứng minh qua bài viết sau đây nhé.

1. Tứ giác là gì?

Hình tứ giác là một trong những hình học thường gặp nhất trong những bài toán cũng như trong đời sống .Để tìm hiểu và khám phá thêm về hình tứ giác, mời bạn tìm hiểu thêm bài viết Hình tứ giác là gì ? Dấu hiệu phân biệt hình tứ giác đơn thuần, dễ hiểu .

Hình tứ giác

Hình tứ giác

2. Tứ giác nội tiếp là gì?

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn ( gọi tắt là tứ giác nội tiếp ) .Lúc này, đường tròn được gọi là đường tròn ngoại tiếp, và những đỉnh của tứ giác được gọi là đồng viên .

Hình tứ giác nội tiếp đường tròn

Hình tứ giác nội tiếp đường tròn

3. Đặc điểm, tính chất tứ giác nội tiếp

– Mọi tam giác đều có một đường tròn ngoại tiếp nhưng không phải mọi tứ giác đều nội tiếp đường tròn .- Tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác nội tiếp là giao điểm của những đường trung trực của những cạnh .

Hình tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O

Hình tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O- Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc đối lập là góc vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của đường chéo nối tiếp 2 đỉnh kia .- Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc vuông cùng nhìn 1 cạnh thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh mà 2 góc cùng nhìn vào cạnh đó .

4. Định lý của tứ giác nội tiếp

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối lập bằng 180 ° .trái lại, nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối lập bằng 180 ° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn .

Định lý của tứ giác nội tiếp

Định lý của tứ giác nội tiếp

5. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn

– Tứ giác có tổng số đo của hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn .- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng với góc trong tại đỉnh đối của nó thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn .

Hình tứ giác nội tiếp đường tròn

Hình tứ giác nội tiếp đường tròn- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm mà ta hoàn toàn có thể xác lập được, điểm đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp .- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau, hai đỉnh này cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn .

6. 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó

Nếu cho một đường tròn tâm O, bán kính R thì bất kể điểm nào nằm trên đường tròn ( O ) cũng cách đều tâm O một khoảng chừng bằng R .Từ đó ta hoàn toàn có thể vận dùng điều đó để suy ra một cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn .

Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó

Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó

Ví dụ: Cho một điểm I cố định và tứ giác ABCD.

Bạn phải chứng minh được 4 điểm A, B, C, D cách đều điểm I, tức là ( IA = IB = IC = ID ) thì I chính là tâm đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, D .Cũng suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I nửa đường kính IA cũng như IB, IC, ID .

Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180°

Dựa vào tín hiệu phân biệt ” Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng với góc trong tại đỉnh đối của nó thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn ” .

Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180°

Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180 °

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD, bạn phải chứng minh được ∠A + ∠C = 180° hoặc ∠B + ∠D = 180°, thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Chứng minh từ hai đỉnh

Chứng minh từ hai đỉnh có cạnh liền kề

Chứng minh từ hai đỉnh có cạnh liền kề

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD, nếu bạn chứng minh được rằng từ hai đỉnh A và B cùng kề một cạnh AB của tứ giác, có ∠DAC và ∠DBC cùng nhìn cạnh DC mà bằng nhau.

Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn .

Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng nhau

Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng nhau

Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng nhau

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Nếu chứng minh được ∠A + ∠C= ∠B + ∠D thì tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn.

Chứng minh qua góc ngoài của tứ giác

Chứng minh qua góc ngoài của tứ giác

Chứng minh qua góc ngoài của tứ giác

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD, nếu chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A bằng góc trong tại đỉnh C (tức là góc C của tứ giác đó) thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Chứng minh bằng chiêu thức phản chứngCó thể chứng minh tứ giác ABCD là một trong những hình đặc biệt quan trọng sau : Tứ giác ABCD là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông vắn .

7. Bài tập về tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài tập 1: Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a ) Tứ giác BCEF nội tiếp .b ) HA.HD = HB.HE = HC.HF

Hướng dẫn giải:

Bài giải bài tâp 1

Bài giải bài tâp 1

a) Ta có ∠BEC = ∠BFC = 90°.

Suy ra tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn có đường kính BC .b ) Gọi O là trung điểm của BC, vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC. Xét ΔBHF và ΔCHE có :∠ FHB = ∠ EHC ( đối đỉnh ) .∠ EBF = ∠ ECF ( hai góc nội tiếp cùng chắn ) .Suy ra ΔBHF ∼ ΔCHEbh / CH = HF / HE hay HB.HE = HC.HF ( 1 ) .Chứng minh tương tự như so với ΔAHE và ΔBHD, ta có : HA.HD = HB.HE ( 2 ) .Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : HA.HD = HB.HE = HC.HF ( điều phải chứng minh ) .

Bài tập 2: Tứ giác ABCD có góc ABC + góc ADC = 180°. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.

Hướng dẫn giải:

Bài giải bài tâp 2

Bài giải bài tâp 2

Tứ giác ABCD có ∠ABC + ∠ADC=180°.

⇒ ABCD là tứ giác nội tiếp .Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD .⇒ OA = OB = OC = OD = R .Do OA = OC nên ΔOAC cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AC .Do OB = OD nên ΔOBD cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của BD .Do OA = OB nên ΔOAB cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AB .⇒ O thuộc đường trung trực của AC, BD, AB .Vậy những đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua O .

Bài tập 3: Cho ΔABC cân tại A. Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC tại E. Kẻ EN vuông góc AC. Gọi M là trung điểm của BC; AM và EN cắt nhau tại F.

a / Chứng minh những tứ giác MCNF .b / Chứng minh EB là phân giác của góc AEF .

Hướng dẫn giải:

Bài giải bài tâp 3

Bài giải bài tâp 3

a, Ta có: ∠CMF = ∠CNF = 90°.

Suy ra MCNF là tứ giác nội tiếp đường tròn .

b, Xét hai tam giác ΔAME và ΔFME có ME là cạnh chung, ∠EMF = ∠EMA = 90°.

Suy ra ΔAME = ΔFME⇒ AM = MF .Từ đó hoàn toàn có thể suy ra EB là phân giác của góc AEF .Một số mẫu máy tính cầm tay giúp bạn tính toán dễ dàng hơn:

Mong rằng bài viết trên hữu ích dành cho bạn khi tìm hiểu về hình tứ giác nội tiếp. Cảm ơn các bạn đã quan tâm theo dõi!

Viết một bình luận