✅ Công thức nguyên hàm ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️

3.3 / 5 – ( 13 bầu chọn )

Công thức nguyên hàm cơ bản thường gặp nhất

Bảng các nguyên hàm cơ bản

Bảng nguyên hàm mở rộng (a ≠ 0)

Thực ra, ta đã áp dụng tính chất sau đây: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì:

Bảng nguyên hàm nâng cao (a ≠ 0)

Định nghĩa, công thức Nguyên hàm

Định nghĩa

Cho hàm số f ( x ) xác lập trên K ( K là khoảng chừng, đoạn hay nửa khoảng chừng ). Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K nếu F ‘ ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ K .
Kí hiệu : ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C .

Định lí 1:

1 ) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G ( x ) = F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K .
2 ) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( x ) trên K đều có dạng F ( x ) + C, với C là một hằng số .
Do đó F ( x ) + C ; C ∈ R là họ tổng thể những nguyên hàm của f ( x ) trên K .

Tính chất của nguyên hàm

• ( ∫ f ( x ) dx ) ’ = f ( x ) và ∫ f ‘ ( x ) dx = f ( x ) + C .
• Nếu F ( x ) có đạo hàm thì : ∫ d ( F ( x ) ) = F ( x ) + C ) .
• ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k là hằng số khác 0 .
• ∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx .

Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .

Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

Một số phương pháp tìm nguyên hàm

Phương pháp đổi biến

Đổi biến dạng 1

    a. Định nghĩa.

Cho hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f ( u ) liên tục sao cho f [ u ( x ) ] xác lập trên K. Khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, tức là : ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C thì :
∫ f [ u ( x ) ] u ‘ ( x ) dx = F [ u ( x ) ] + C

    b. Phương pháp giải

Bước 1 : Chọn t = φ ( x ). Trong đó φ ( x ) là hàm số mà ta chọn thích hợp .
Bước 2 : Tính vi phân hai vế : dt = φ ‘ ( t ) dt .
Bước 3 : Biểu thị : f ( x ) dx = f [ φ ( t ) ] φ ‘ ( t ) dt = g ( t ) dt .
Bước 4 : Khi đó : I = ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( t ) dt = G ( t ) + C .

Phương pháp đổi biến loại 2

    a. Định nghĩa:

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên K ; x = φ ( t ) là một hàm số xác lập, liên tục trên K và có đạo hàm là φ ‘ ( t ). Khi đó, ta có :
∫ f ( x ) dx = ∫ f [ φ ( t ) ]. φ ‘ ( t ) dt

    b. Phương pháp chung

Bước 1 : Chọn x = φ ( t ), trong đó φ ( t ) là hàm số mà ta chọn thích hợp .
Bước 2 : Lấy vi phân hai vế : dx = φ ‘ ( t ) dt .
Bước 3 : Biến đổi : f ( x ) dx = f [ φ ( t ) ] φ ‘ ( t ) dt = g ( t ) dt .
Bước 4 : Khi đó tính : ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( t ) dt = G ( t ) + C .

    c. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Phương pháp nguyên hàm từng phần

    a. Định lí

Nếu u ( x ), v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K :
∫ u ( x ). v ‘ ( x ) dx = u ( x ). v ( x ) – ∫ v ( x ). u ‘ ( x ) dx
Hay ∫ udv = uv – ∫ vdu
( với du = u ‘ ( x ) dx, dv = v ‘ ( x ) dx )

    b. Phương pháp chung

Bước 1 : Ta đổi khác tích phân ban đầu về dạng : I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f1 ( x ). f2 ( x ) dx
Bước 2 : Đặt :

c. Các dạng thường gặp

    Dạng 1

Dạng 2

Dạng 3

sau đó thay vào I .

Những điểm sai thường gặp khi giải toán liên quan đến bảng nguyên hàm

Đa số khi giải dạng đề này những bạn thường mắc phải những sai lầm đáng tiếc như :
– Hiểu sai thực chất công thức
– Cẩu thả, dẫn đến tính sai nguyên hàm
– Không nắm vững định nghĩa về nguyên hàm, tích phân
– Đổi biến số nhưng quên đổi cận

– Đổi biến không tính vi phân

– Không nắm vững chiêu thức nguyên hàm từng phần
Dưới đây sẽ là một số ít lỗi sai đơn cử mà người giải đề liên tục gặp phải khi giải những đề toán tương quan đến bảng nguyên hàm. Các bạn hãy cùng theo dõi để tránh mắc phải tương tự như nhé !

• Nhớ nhầm công thức của nguyên hàm

Nguyên nhân : nền tảng của nguyên hàm là đạo hàm. Tức là muốn giải được nguyên hàm thứ nhất bạn cần học hoặc khám phá về đạo hàm trước đã. Và cũng vì vậy mà khi chưa hiểu rõ được thực chất của hai định nghĩa này bạn hoàn toàn có thể dễ bị nhầm lẫn giữa cả hai, nhầm công thức này qua công thức kia .
Khắc phục : học vững bảng nguyên hàm cơ bản, rèn luyện thói quen kiểm tra công thức : lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng số đề cho hay không .

• Không vận dụng đúng định nghĩa tích phân

Khắc phục : đọc và nắm kỹ định nghĩa tích phân. Tạo thói quen khi tính ∫ f ( x ) dx nhớ chú ý quan tâm kiểm tra xem hàm số y = f ( x ) có liên tục trên đoạn hay không. Lưu ý đặc biệt quan trọng, nếu hàm số không liên tục trên đoạn thì nghĩa là tích phân đó không sống sót !

• Nhớ nhầm tính chất tích phân nguyên hàm

Nguyên nhân : thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần thì có nhiều bạn thường tự phát minh sáng tạo ra quy tắc nguyên hàm của một tích. Lỗi sai này rất nghiêm trọng nhưng cũng rất phổ cập .
Khắc phục : một lần nữa đọc lại và nắm vững đặc thù của nguyên hàm và tích phân

• Vận dụng sai công thức nguyên hàm

Nguyên nhân : vì dạng đề và công thức bảng nguyên hàm rất nhiều nên nhiều trường hợp những bạn vận dụng sai công thức, hoặc nhớ nhầm từ công thức này sang công thức kia
Khắc phục : cẩn trọng và tỉ mỉ là một yếu tố cực kỳ thiết yếu dành cho môn toán, tại vì nhiều khi chỉ cần sai một số lượng nhỏ hoặc một công thức nhỏ trong bảng nguyên hàm nói riêng cũng như trong bài toán nói chung thì mọi tác dụng sẽ trở nên công cốc .
Vì thế một lần nữa lời khuyên dành cho cách khắc phục những lỗi sai này là học thuộc vững bảng nguyên hàm và những công thức nguyên hàm cơ bản. Hiểu đúng dạng đề để tránh sử dụng sai công thức. Tính toán, áp số thận trọng, tránh những sai xót vặt vãnh .

Hướng Dẫn Giải Bài Tập Toán Đại 12: Chương Nguyên Hàm Chọn Lọc

Giải bài tập Toán đại 12: Bài 1 trang 126

a. Hãy nêu định nghĩa nguyên hàm của hàm số cho trước f ( x ) trên một khoảng chừng .
b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần là gì ? Đưa ra ví dụ minh họa cho cách tính đã nêu .

Hướng dẫn giải:

a. Xét hàm số f ( x ) xác lập trên tập xác lập A .
Như vậy, hàm số F ( x ) gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên A khi F ( x ) thỏa mãn nhu cầu : F ’ ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ A .
Cách tính nguyên hàm từng phần :
Cho hai hàm số u = u ( x ) và v = v ( x ) có đạo hàm liên tục trên A, khi đó :
∫ u ( x ). v ’ ( x ) dx = u ( x ). v ( x ) – ∫ v ( x ). u ’ ( x ) dx
Ta hoàn toàn có thể viết gọn lại : ∫ udv = uv – ∫ vdv .

Ví dụ minh họa:

Kiến thức cần nhớ: 

Nguyên hàm của một hàm số f ( x ) xác lập trên tập A là một hàm số F ( x ) thỏa : F ’ ( x ) = f ( x ) với mọi x thuộc tập A. Có vô số hàm thỏa mãn nhu cầu đều kiện trên, tập hợp chúng sẽ thành họ nguyên hàm của f ( x ) .
Khi sử dụng công thức nguyên hàm từng phần, nên quan tâm lựa chọn hàm u, v. Một số dạng thường gặp :

Giải bài tập Toán đại 12: Bài 2 trang 126

a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f ( x ) trên đoạn [ a ; b ]
b. Tính chất của tích phân là gì ? Ví dụ đơn cử .

Hướng dẫn giải:

a. Xét hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a ; b ], gọi F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) trên [ a ; b ]
Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F ( b ) – F ( a ), kí hiệu :

b. Tính chất của tích phân :

Kiến thức bổ sung:

+ Để tính một số ít tích phân hàm hợp, ta cần đổi biến, dưới đây là 1 số ít cách đổi biến thông dụng :

+ Nguyên tắc sử dụng đặt u, v khi dùng công thức tính phân từng phần, ưu tiên thứ tự sau khi chọn u : Logarit -> Đa thức -> Lượng giác = Mũ .

Giải bài tập Toán đại 12: Bài 3 trang 126

Tìm nguyên hàm của những hàm số đã cho dưới đây :
a. f ( x ) = ( x-1 ) ( 1-2 x ) ( 1-3 x )
b. f ( x ) = sin ( 4 x ). cos2 ( 2 x )

d. f ( x ) = ( ex – 1 ) 3

Hướng dẫn giải:

a. Ta có :
( x-1 ) ( 1-2 x ) ( 1-3 x ) = 6×3 – 11×2 + 6 x – 1
Suy ra

b. Ta có :

Suy ra :

c. Ta có :

Suy ra :

d. Đối với bài này, bạn đọc hoàn toàn có thể theo cách giải thường thì là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi vận dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ, tuy nhiên Kiến xin trình làng cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm .
Đặt t = ex
Suy ra : dt = exdx = tdx, vì thế

Ta sẽ có :


Với C ’ = C-1

Kiến thức cần nhớ:

Một số nguyên hàm thông dụng cần nhớ :

Giải bài tập Toán đại 12: Bài 4 trang 126

Tính 1 số ít nguyên hàm sau :

Hướng dẫn giải:

Kiến thức bổ sung

Một số công thức nguyên hàm thường gặp :

Giải bài tập toán đại 12 nâng cao

Đề THPT Chuyên KHTN lần 4:

Cho những số nguyên a, b thỏa mãn nhu cầu :

Tính tổng P = a + b ?

Hướng dẫn giải:

Bài này là sự tích hợp tính tích phân của 1 hàm là tích của hai hàm khác dạng, kiểu ( đa thức ) x ( hàm logarit ). Vì vậy, cách xử lý thường thì là sử dụng tích phân từng phần .
Ta có :

Đề thi thử Sở GD Bình Thuận:

Cho F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ). Biết rằng F ( 3 ) = 3, tích phân :. Hãy tính :

Hướng dẫn giải:

Đây là một dạng tính tích phân dạng hàm ẩn, tích phân cần tính lại là dạng 1 hàm số cụ thể nhân với 1 hàm chưa biết, như vậy cách giải quyết thường gặp sẽ là đặt ẩn phụ cho hàm, đồng thời sử dụng công thức tính tích phân từng phần.

Ở đây những bạn sẽ đặt : t = x + 1, khi đó :

Kiến thức bổ sung:

+ Như vậy ở đây, một cách để nhận ra khi nào sẽ sử dụng tích phân từng phần là bài toán nhu yếu tính tích phân của hàm có dạng f ( x ). g ( x ), trong đó f ( x ) và g ( x ) là những hàm khác dạng nhau, hoàn toàn có thể là hàm logarit, hàm đa thức, hàm mũ hoặc hàm lượng giác. Một số kiểu đặt đã được đề cập ở mục phía trước, bạn hoàn toàn có thể tìm hiểu thêm lại ở phía trên .
+ Một số công thức tính nguyên hàm của hàm vô tỷ :

Source: https://tbdn.com.vn
Category: Toán Học