Cho `1/a + 1/b + 1/c = 0`. Chứng minh rằng `bc/a^2 + ca/b^2 + ab/c^2 = 3`

2 bình luận về “Cho `1/a + 1/b + 1/c = 0`. Chứng minh rằng `bc/a^2 + ca/b^2 + ab/c^2 = 3`”

1. Đặt S=(bc)/(a^2)+(ca)/(b^2)+(ab)/(c^2)(ĐKXĐ:a $\neq$ 0;b $\neq$ 0;c $\neq$ 0)

   =(b^3 c^3)/(a^2 b^2 c^2)+(c^3 a^3)/(a^2 b^2 c^2)+(a^3 b^3)/(a^2 b^2 c^2)

   =((bc)^3+(ac)^3+(ab)^3)/((abc)^2)

   =((ab+bc)^3-3ab.bc.(ab+bc)+(ac)^3)/((abc)^2)(1)

   1/a+1/b+1/c=0

   <=>(bc)/(abc)+(ac)/(abc)+(ab)/(abc)=0

   <=>(ab+ac+bc)/(abc)=0

   <=>ab+ac+bc=0

   <=>ab+bc=-ac(2)

   (1);(2)=>S=((-ac)^3-3ab.bc.(-ac)+(ac)^3)/((abc)^2)

   =(3(abc)^2)/((abc)^2)

   =3

   Trả lời
2. Lời giải:

   Đặt x=1/a;y=1/b;z=1/c

   Ta có: x+y+z=0

   =>x+y=-z

   =>(x+y)^3=(-z)^3

   =>x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=-z^3

   =>x^3+y^3+z^3=-3x^2y-3xy^2

   =>x^3+y^3+z^3=-3xy(x+y)

   =>x^3+y^3+z^3=-3xy.(-z) (Vì x+y=-z)

   =>x^3+y^3+z^3=3xyz

   =>1/a^3+1/b^3+1/c^3=3/(abc)

   Ta có: 

   (bc)/(a^2)+(ca)/(b^2)+(ab)/(c^2)

   =(abc)/(a^3)+(abc)/(b^3)+(abc)/(c^3)

   =abc(1/a^3+1/b^3+1/c^3)

   =abc. 3/(abc)

   =3

   Vậy (bc)/(a^2)+(ca)/(b^2)+(ab)/(c^2)=3

   Trả lời