Cho `x,y,z>0`. CMR : `x^4+y^4+z^4>=xyz(x+y+z)`

1 bình luận về “Cho `x,y,z>0`. CMR : `x^4+y^4+z^4>=xyz(x+y+z)`”

1. Ta có: x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + xz

   => 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \ge 2xy + 2yz + 2xz

   => 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 – 2xy – 2yz – 2xz \ge 0

   => (x^2 – 2xy + y^2) + (x^2 – 2xz + z^2) + (y^2 -2yz + z^2) \ge 0

   => (x – y)^2 + (x – z)^2 + (y – z)^2 \ge 0  (luôn đúng)

   => x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + xz

   Áp dụng điều trên

   Ta có: x^4 + y^4 + z^4 \ge x^2 y^2 + y^2 z^2 + x^2 z^2         (1)

   Mặt khác: x^2 y^2 + y^2 z^2 + x^2 z^2 \ge xy . yz + yz . xz + xy . xz

   => x^2 y^2 + y^2 z^2 + x^2 z^2 \ge xy^2 z + xyz^2 + x^2 yz

   => x^2 y^2 + y^2 z^2 + x^2 z^2 \ge xyz(x + y + z)        (2)

   Từ (1) và (2) => x^4 + y^4 + z^4 \ge xyz(x + y +z )  (đpcm)

   Trả lời